BAKGRUNN

''Inngående studium av naturen er den mest fruktbare kilden for matematiske oppdagelser.'' (Joseph Fourier [JF, s.7])

Innledning og motivasjon

Fourieranalysen er en stor del av matematikken. Som matematisk gren kan vi si begynnelsen var omtrent for 250 år siden og utviklingen fortsetter enda i dag (blant annet i grenen abstrakt harmonisk analyse). Fra den spede begynnelsen med å beskrive svingebevegelsen til en fiolinstreng matematisk bruker vi nå Fouriertransformasjoner til å lete etter liv i verdensrommet Note_1 og til å komprimere lyd og bilde for lettere å kunne sende disse via Internett. IKT-hjelpemidler har gitt nytt liv til Fouriers teknikker, og i våre dager er den en av de mest brukte deler av anvendt matematikk. I tillegg til å være verdifull i seg selv har også Fourieranalysen ved flere anledninger opp gjennom historien vært ansvarlig for debatter og omdefinering av matematiske begreper. Her finner vi begreper som integral, funksjon, grense, konvergens og differensiallikninger. I dag ser vi Fourieranalysen også i sammenheng med mer avanserte matematiske områ der som målteori, metriske rom, -rom og Banach-rom. I matematiske anvendelser i fysikk er raske Fouriertransformasjoner (også kalt FFT - Fast Fourier Transform) essensielt i mange sammenhenger.

En kan si det er flere hensikter med denne oppgaven;

• Hovedtanken er å vise utviklingen av et matematisk begrep, og hvordan den vitenskaplige verden forholder seg under denne prosessen. Fourieranalysen føyer seg fint inn som en teori som følger det vanlige mønstret i utviklingen av en vitenskap. I boken Thinking mathematically [JM] finner vi en ''oppskrift'' på hvordan matematiske problemer kan/bør løses, eller hvordan de vanligvis blir løst. I et vanlig kurs kan studenter få inntrykk av at matematikk har en strengt logisk utvikling på grunn av man får stoffet presentert ved at instruktøren hopper fra teorem til teorem med den største letthet. Et viktig aspekt [JM] legger fram er at ''being stuck is a great state''. Dette høres kanskje rart ut, men poenget er at det er da man virkelig har muligheten til å lære noe. Det å stå helt fast i en situasjon gjør at man må tenke i andre baner, og den følelsen man kan oppnå etter å lykkes etter å ha stått fast vil være en enorm motivasjon for mange. Derfor håper vi også å kunne få fram underveis hvorledes feilskjærene har framtvunget andre framgangsmåter, og helt nye idéer.

  I [GG] påstås det at man i Fouriers arbeider omtrent kan ''se'' hvordan han tenker time for time, og at denne forkjærligheten for ideene gjør for mange Fouriers arbeider mer historisk interessante å lese enn hans samtidige vitenskapsmenn.

• Videre er tanken å presentere et av de mest anvendelige og anerkjente matematiske verktøyer vi bruker i dag. Nytteområdene er utallige - fra utnytting av lagringskapasiteter i hjemmedatamaskiner til lydeffekter på synthesizere. I vårt samfunn finner vi kjente begrep som overtoner og harmonier, disse stammer fra Fouriers fundamentale ideer.

• Til sist håper vi at oppgaven kanskje gir nye innfallsvinkler til gamle temaer i skolematematikken. Selv om elever i den videregående skole ikke møter Fourierteori, bør iallfall temaer som f.eks. integralregning i forhold til antiderivasjon og punktvis konvergens i forhold til uniform konvergens være aktuelle tema for lærere i den videregående skolen.

Oppgaven tar altså for all del ikke mål av seg til å være noe læreverk i Fourieanalyse, men heller en slags ''historisk oversikt''.

La oss først bli bedre kjent med mannen som har fått navnet sitt knyttet til denne matematiske disiplinen. Følgende biografiske oppsummering er hentet fra [I3], [GG, s.vii-xii, s.1-29], [TWK, s. 475-480], [MK, kap. 22] og [TL1, s.211-218].

Joseph Fourier

Sitatet i innledningen av kapittelet er kanskje det mest kjente utsagn fra en av historiens store vitenskapsmenn. Han het Joseph Baptiste Fourier og ble født 21. mars 1768 i Auxerre i Frankrike, der hans far (som også bare navnet Joseph) var en anerkjent skredder. comment Finn ut hvor mange! Han hadde et stort antall søsken, kilder er faktisk ikke helt enige om det nøyaktige antallet (Noen hevder Fourier var tolvte barn [TL1, s. 216], mens andre påstår han var nittende barn og ikke en gang det siste [GG]!). Begge foreldrene døde da Fourier var i 8-10 års-alderen, og tanten og onkelen i samme by tok seg av han.

Matematikk var Fouriers største interesse fra tenårene av. Han var svært flink i faget som ung student, men likevel innstilt på å begi seg ut på en militær karriere. Derfor søkte han seg både til ingeniørvåpnet og artilleriet for å utdanne seg til offiser. Han ble avvist med at bare adelige kunne bli offiserer. Det hjalp ikke hvor smart han enn måtte være.

Frankrike var i siste halvdel av 1700-tallet et føydalsamfunn under Ludvig XVI og det var store samfunnsforskjeller. Kun adelige og geistlige var i maktposisjoner, og bare borgerskapet og bondestanden betalte skatt. Med opplysningstida ble allmuen mer bevisst sin stilling og i 1789 ble Bastillen, et symbol på tyranniet, stormet. Den franske revolusjon brøt ut og forandret mange av Fouriers planer. Det administrative i Frankrike ble preget av kaos og landet kom i krig mot flere andre land i Europa. Robespierres parti kom til makten, og etter et par år var Frankrikes sentrale instanser igjen besatt og landet var reorganisert for krig. Dette førte til et behov for skolerte menn både på nasjonalt og lokalt nivå.

Fourier var på dette tidspunkt lærer ved sin tidligere skole, og ble i 1793 medlem i den revolusjonære komité i Auxerre der han hadde forskjellige verv; rekruttering av revolusjonære, innsamling av hester o.l. Han likte absolutt ikke frykten og uroen som fulgte av revolusjonen, og prøvde faktisk å fratre sin stilling, men det skulle vise seg å væ re umulig. Senere ble han til og med president i komitéen. Fourier var etter dette så sterkt forbundet med revolusjonen at han ikke hadde mulighet til å trekke seg.

Den franske revolusjon var en komplisert affære med mange parter med hovedsaklig samme mål, men som likevel var voldelig innstilt overfor hverandre. Fourier forsvarte medlemmer av en av fraksjonene mens han var i Orléans og dette skulle få store konsekvenser. Han fortsatte sitt arbeid både i komitéen og som lærer, men han ble i juli 1794 arrestert på grunn av dette engasjement i Orléans. Døden på giljotinen var faretruende nær. Men da Robespierre, etter å ha styrt Frankrike gjennom 30000 henrettelser, i stedet selv måtte ta den tunge veien opp trappene til giljotinen, medførte det følgende politiske skifte at Fourier unngikk henrettelse. Han ble satt fri, men arrestert på nytt. Heldigvis ble Fourier tatt opp som student ved et nytt college i Paris, Ecole Normale, der lærere ble utdannet. Ecole Normale skulle væ re en mønsterskole til forbilde for andre lærerskoler. Skolen åpnet i 1795, og Fourier ble en av de flinkeste studentene der. Nå kunne han komme seg bort fra sin tilværelse som terrorist-anklaget en stund. Blant foreleserene fant vi Lagrange Note_2 , som Fourier beskrev som ''den største av europeiske vitenskapsmenn''. Han ble også undervist av Laplace Note_3 og Monge Note_4 . Fourier uttalte om Monge at han ''har en høy stemme og er aktiv, genial og vellært''. Ecole Normale var dessverre ikke et vellykket prosjekt, og det ble omsider nedlagt. Han ble ansatt som lærer ved Collège de France og arbeidet mye med matematikk, også sammen med sine gamle forelesere. Etterhvert fikk han en stilling ved Ecole Centrale des Travaux Publiques. Snart fikk skolen det nye navnet Ecole Polytechnique. Men ringvirkninger etter Fouriers arrestasjoner gjorde seg gjeldende. Han ble på nytt arrestert, sluppet fri og arrestert igjen. Til slutt ble han, etter ytterligere politiske svingninger, etter ønske fra sine studenter - og ikke minst etter ønske fra Lagrange, Laplace og Monge, satt fri. I løpet av september 1795 var han tilbake som lærer ved Ecole Polytechnique. I 1797 ble han foretrukket foran Lagrange i valget av styrer for institutt for analyse og mekanikk. Han var kjent som en glimrende foreleser, men hadde på dette tidspunkt ikke gitt seg i kast med spesielt originale forskningsområder. Etter tre år fikk han ordre om å delta under invasjonen av Egypt som vitenskapelig rådgiver og som del av en gruppe vitenskapsmenn og intellektuelle som Frankrike ville berike Egypt med. Må let var å frigjøre Egypt fra tyrkerne. Ekspedisjonen ble i starten sett på som en stor suksess. Malta ble okkupert 10. juni 1798, Alexandria 1. juli og Nil-deltaet kort tid etter. Fra høyeste hold ble ekspedisjonen sett på som en effektiv måte å holde en plagsom general (Napoleon) unna, mens denne generalen selv så på det som en måte å bli keiser av østen på. Imidlertid var nederlagene totalt sett like store på grunn av Nelsons ødeleggelse av den franske invasjonsflåten 1. august. Etter å ha hørt om store militære og samfunnsmessige problemer i Frankrike, forlot Napoleon i 1799 sine tropper og reiste for å ''redde Frankrike''.

Både før og etter Napoleons fratredelse, hadde Fourier flere viktige politiske stillinger i Egypt. Han var veldig allsidig og arbeidet både med å starte opp utdanningsinstitusjoner og utførte også en hel del arkeologiske utgravninger. Fourier var omtrent like mye egyptolog som fysiker og matematiker og hjalp til med å samle Beskrivelsen av Egypt. Fouriers bidrag var en oversikt over Egypts historie. Dette anerkjente verket var ikke ferdig før i 1810, da Napoleon foretok mange og gjerne feilaktige endringer. I andre utgave er alle referanser til Napoleon fjernet. T.W. Körner skriver i [TWK] om Fouriers beskrivelse av Egyptisk historie at ''en egyptolog jeg (Körner) diskuterte denne avhandlingen med, mente at den var et vendepunkt i historisk forskning, og mesterlig utført. Han var svært overrasket over at Fourier også var matematiker''. I Kairo var Fourier med på å grunnlegge Cairo Institute og han var en av tolv medlemmer i matematikkavdelingen. Blant de andre fant vi Monge og Napoleon.

Da den franske ekspedisjonen overga seg i 1801, fikk han tilbud fra Napoleon om å være sekretær ved Departementet i Isère, sentrert rundt Grenoble. Han takket motvillig ja da han ikke kunne si nei til Napoleons ø nsker. Frankrike var delt i 83 Departementer og hver sekretær styrte sitt departement på vegne av sentrale myndigheter. Fourier valgte dette kallet framfor å fortsette som professor ved Ecole Polytechnique. Her skulle han gjøre sine mest kjente arbeider innen varmelære.

En kjent passasje fra Fouriers tidlige skrifter er følgende:

''I går var det min 21. fødselsdag, og ved den alderen hadde Newton Note_5 og Pascal Note_6 allerede sikret seg flere grunner til udødelighet.''

Fjorten år senere var han fortsatt sekretær ved Isère, og hadde enda ikke oppnådd den udødeligheten han ønsket seg som ung. Det eneste han kunne slå i bordet med var en fotnote i lærebøker i algebra om nullpunkter i algebraiske polynomer. Han ga faktisk et nytt bevis for Descartes' regel Note_7 . Descartes Note_8 selv hadde brukt polynomer av lav grad for å bevise regelen. Newton tok også opp denne tråden, men heller ikke han ga noe bevis. Fourier var (i følge [GG]) den første til å bevise regelen, og framgangsmåten finnes også i [GG, s. 8]. Fourier ønsket seg imidlertid større resultater.

I 1804 tok han så opp spørsmålet om varmeledning. Man er usikker på hans motivasjon for dette. Det er mulig han så på dette som det mest aktuelle uløste problemet på denne tiden. Newtons mekanikk var nå velkjent, men spørsmål innen felt som varme, lys, elektrisitet og magnetisme var knapt nok utforsket i det hele tatt. Det sies, om enn noe humoristisk, at Fouriers valg av forskningsområde (altså varme) fulgte av et desperat behov for varme, som han utviklet i Egypt. Han mente at ø rkenvarmen var det mest ideelle grunnlag for god helse. Derfor kledde han seg ekstremt varmt og oppholdt seg i rom med forferdelig høy temperatur. Noen mener til og med at denne sykelige varmetrangen, ironisk nok, framskyndet hans død.

Da Napoleon var nedkjempet og på vei til Elba hvor han skulle leve i eksil, skulle han egentlig passere Grenoble, men Fourier sendte melding om at det var for farlig for Napoleon å nærme seg. Etter at Fourier fikk høre at Napoleon hadde rømt fra Elba og marsjerte mot Grenoble med en stor hær, ble han veldig engstelig. Han prøvde å få folk til å sverge troskap til kongen, men da Napoleon marsjerte inn i byen, hadde Fourier rømt. Napoleon ble veldig misfornøyd med at Fourier ikke var til stede for å ønske ham velkommen. Fourier var heldigvis i stand til å snakke seg ut av situasjonen, og faktisk ble han gjort til sekretær ved Rhône. Etter at han fikk beskjed (muligens fra Carnot) om å fjerne alle administrativt ansatte med sympati for royalistene, forlot han denne stillingen. Napoleon og Carnot må ha hatt et godt øye til han likevel, for han mottok 10. juni 1815 en pensjon på 6000 franc, utbetaling fra 1. juli. Nå ble Napoleon beseiret nøyaktig 1. juli og Fourier mottok aldri noen penger. Fourier reiste så tilbake til Paris, hvor han ble valgt inn i vitenskapsakademiet i 1817. Snart ble han også sekretær ved det matematiske institutt på akademiet. Her ga han på nytt ut sine arbeider om varmelære.

I løpet av sine siste år ved akademiet ga han ut en del artikler, bå de innen ren matematikk og om anvendelser. Hans resultater innen varmeteori var hele tiden omdiskuterte, og han brukte mye tid på å forsvare sine arbeider. Biot Note_9 og Poisson Note_10 var standhaftige og kritiske til det han hadde gjort. Fourier skrev et svar til disse i artikkelen Historical Précis, men denne ble aldri utgitt.

Fourier led av dårlig helse mot slutten av sitt liv. Hyppig klimaskifte hadde gjort ham svært reumatisk. Han holdt likefullt fast på troen om at det var helsemessig gunstig å pakke seg inn i mange lag av tepper. Inntyllet i pledd døde han etter å ha snublet ned trappen i sitt eget hjem. Joseph Fourier døde i Paris 16. mai 1830.

På tross av sin stormfulle politiske karriere utførte Fourier også en mengde vitenskapelige eksperimenter og publiserte mange arbeider. Det kan være litt vanskelig å holde Fouriers største arbeider fra hverandre. Det dreier seg i hovedsak om fire manuskripter, samtlige inneholder forbedringer, utvidelser og korreksjoner fra forrige utgave. En rask oppsummering følger;

• 1805 - Et ukast til manuskriptet som skulle komme senere. Vi skal snart se på Fouriers varmelikning for en tynn plate, men dette første utkastet inneholder imidlertid en varmelikning som ikke var riktig:
  
  Det som var feil var leddet og dette ble også fjernet senere. Fourier hadde nemlig først sett på det endimensjonale tilfellet, der molekyler avgir varme både til molekylene på hver side og også med omgivelsene rundt på alle andre retninger. Fourier tok også dette med i betraktningen da han stilte opp varmelikningen for platen, men glemte da at den todimensjonale plata kun tillot varmestrømning til omgivelsene gjennom kantene.

• 1807 - Sur la propagation de la chaleur. Små forskjeller fra 1805, men blant annet varmelikningen er endret til den riktige
  
  Dette dokumentet foreligger på originalspråket i [GG], med biografier, kommentarer og merknader (på engelsk) av Grattan-Guinnes.

• 1811 - Den reviderte utgaven. Ble levert inn til Grand Prix-konkurransen, hvor han fikk premien for den. Denne ble aldri publisert.

• 1822 - La theorie analytique de la chaleur. Boken han selv ga ut om analytisk varmeteori. Dette dokumentet er oversatt til engelsk i [JF], med sporadiske kommentarer av oversetteren Freeman.

Preludium til Fourierteori

Når man møter Fourierrekker for første gang er det gjerne i forbindelse med løsning av differensiallikninger. Som den største selvfølgelighet drar man fram Fourierrekker for å kunne løse problemer i varmeledning og bølgelikninger. Kanskje mister man en del av poenget ved å se bort fra de lange årene med forskning, prøving og feiling og diskusjoner som ligger bak.

Hvor kan man så si Fourierteorien begynner? Mye av teorien omhandler periodiske fenomener, og slike kjenner vi til fra lenge før Fouriers tid. Periodiske fenomener forekommer for eksempel innen astronomi. Himmellegemers bevegelser er periodisk (hvis ikke kunne vi fått problemer!). Neugebauer Note_11 viser til at allerede Babylonerne brukte en veldig primitiv form for Fourierrekker til å studere og forutsi posisjonene til himmellegemer [D/McK, s. 1]. Skal vi ta for oss mer moderne tid kan man si at Fourierteorien har sin opprinnelse fra midten av det attende århundre, og den førte med seg en feide mellom flere store matematikere. I 1734 skrev Euler Note_12 om partielle differensiallikninger og hos d'Alembert Note_13 i 1743 finner vi samme tema. Riktignok var det først i neste gjennomgang av løsningen av problemet med den svingende strengen at man virkelig så nytten av slike hjelpemidler. Dette problemet kom for fullt i 1747 da d'Alembert kom med sin diskusjon om svingningene til en fiolinstreng. Problemet gikk ut på å forutsi utslaget i punktet ved tid til en streng som blir satt i bevegelse med en utgangsposisjon gitt ved

Man hadde tidligere fokusert på at massen bestod av mange diskrete ''massebiter''. Fourier gjorde også selv en del slike betraktninger. Vi skal imidlertid konsentrere oss om tilfellet at massen er kontinuerlig fordelt. Bernoulli Note_14 hadde i 1727 tatt for seg at massen besto av små masseenheter. Ved å la kom han fram til en partiell diff.likning som beskrev bevegelsen til strengen.

D'Alembert løste dette problemet på en elegant måte [MK, s. 503ff]. Også Euler publiserte etter hvert et arbeid om den svingende strengen (1748). Han framhevet også superposisjonsprinsippet (1749), der han kombinerte flere ledd for å finne bevegelsen til strengen. Han sa imidlertid ikke noe om han regnet med endelige eller uendelige summer.

Bernoulli hengte seg også på denne diskusjonen. I et arbeide fra 1753 hevder han (etter å ha uttalt seg nedlatende om både Eulers og d'Alemberts løsninger) at alle utgangsposisjoner for strengen kan uttrykkes

Her begynner diskusjonen for alvor. Hans begrunnelse var at det fins ''nok muligheter for valg av (man har jo uendelige muligheter!) til å tilpasse uttrykket til alle funksjoner . Videre fulgte det i hans beregninger at bevegelsen til strengen da vil tilfredsstille likningen

Ingen matematiske begrunnelser ble gitt, kun fysiske betraktninger. Samme året svarte Euler på tiltale med å hevde at det var umulig at alle bevegelser kunne beskrives ved likningen (). Euler mente at Bernoullis løsning kun stemte for visse og at slike forelå allerede i Eulers arbeide fra 1749. Denne uenigheten fortsatte i flere år uten at man ble enige om hvilke funksjoner man kunne tillate som utgangsposisjon. Problemet skiftet altså fokus fra å dreie seg om utgangsposisjonen til strengen til å omhandle hvilke funksjoner som kan uttrykkes med en sinusrekke. Dette skulle også få konsekvenser for selve funksjonsbegrepet.

Også Lagrange hadde synspunkter i diskusjonen. Han ville bevise Eulers påstand om at en vilkårlig funksjon kunne brukes som utgangspunkt for strengen og publiserte samme resultat i 1759. Videre, i 1760/1761, kom Lagrange med en alternativ løsning av problemet.

Etterhvert kom Laplace på banen (1779) og tok parti med d'Alembert. D'Alembert på sin side fortsatte med å kritisere Euler for å væ re for generell ved å bruke funksjoner som ikke kunne regnes som funksjoner og Bernoulli for å finne en løsning som ikke kunne representeres som en sum av sinuskurver, altså ikke generell nok.

En snodig detalj [MK, s. 514] er at alle de involverte i diskusjonen var klare over at ikke-periodiske funksjoner kunne, i et gitt intervall, representeres med en trigonometrisk rekke. Det hadde både Clairaut Note_15 , Euler, Bernoulli og andre gjort tidligere. Også formler for koeffisientene i rekka var blitt framvist tidligere. Lagrange kunne faktisk ha lest om disse formlene allerede i 1759.

Fouriers problem

Andre problemer var av samme karakter som den svingende strengen. Også varmeledning skulle vise seg å være av en slik natur at det naturlig dukket opp rekkeutviklinger i løsningene. Disse løsningene var ganske like de som man fant i forbindelse med den svingende strengen. I Fouriers arbeide av 1807 ble trigonometriske rekker benyttet på en måte som igjen skulle bli omdiskutert. Ettertiden skulle bruke betegnelsen Fourierrekker om rekkene som ble benyttet i denne avhandlingen. Dette navnet bruker vi også i dag. Komiteen som skulle evaluere dette verket bestod av Laplace, Lagrange, Lacroix Note_16 og Monge. For å sette den matematiske tyngden til denne komiteen i perspektiv kan vi nevne at Poisson bare var sekretær her.

Fourier begynte avhandlingen sin med å avfeie teorien om den såkalte ''kalorien'', som var den mest innflytelsesrike teorien man til da hadde hatt angående varme. Poisson og andre var tilhengere av denne teorien. Hovedinnholdet i avhandlingen er løsninger av varmelikningen for forskjellige legemer. Det første eksemplet er løsningen som beskrev temperaturen i en tynn, semi-uendelig plate (''tynn'' vil her si at platen representeres i -planet og ikke har noe utstrekning i -retning.) ved posisjonen etter at temperaturen har stabilisert seg i tid og kun varierer med posisjonen på platen. Denne løsningen var uavhengig av hypotesen om at varme var et stoff (kalori). Fourier tok for seg varmeledning i mange forskjellige legemer, men ved å se på tilfellet med den tynne platen kan vi allerede der observere og beskrive problemene.

Problemet var å finne en funksjon som tilfredsstiller likningen

der er temperaturen i punktet . Utledning av denne likningen, kjent som varmelikningen, ved hjelp av fysiske betraktninger følger senere. I ovenstående likning er

Selv skriver Fourier [JF, s. 133f]:

''For å anvende den generelle likningen

må vi ta i betraktning at vi, i dette tilfellet, abstraherer koordinaten slik at vi må se bort fra leddet Når det gjelder det første leddet, så forsvinner dette, siden vi ønsker å bestemme den stasjonære temperaturen. Likningen som representerer det opprinnelige problemet, og bestemmer egenskapene til det ønskete legeme, er følgende:

Vi ser han bruker litt annen notasjon enn oss (rettere sagt; i originalen fra 1807 brukes det kjente symbolet for partielle derieverte, mens oversettelsen fra 1955 har gått tilbake til ). Her sier han altså at det ikke vil være noe temperaturendring i -retning, siden vi har en tynn plate, og () reduseres da til

Fourier sier også at han ser på tilfellet der temperaturen i tillegg har stabilisert seg. Den vil da ikke endres ettersom tiden går og på venstresiden får vi da 0. Med får vi likningen kjent som Laplaces likning:

Løsningen av denne kalles en harmonisk funksjon. Flere kjente til denne likningen. Laplace og andre hadde støtt på den i forskjellige sammenhenger. Vi må her huske på at selve utledningen av varmellikningen var like ukjent som løsningen av den, så begge deler ble utsatt for nøye vurderinger. Det som ble mest debattert var altså ikke utledningen av varmelikningen, men de trigonometriske rekkene som på en naturlig måte dukker opp i lø sningen.

Fouriers løsning

I følge [DMB, s.2] var det Fourier som introduserte metoden med separasjon av variablene. Dette er i dag velkjent stoff og standard teknikk for lø sning av diff.likninger. Det hevdes imidlertid i [GG, s. 132] at separasjon av variablene var velkjent og vanlig i bruk ved vanlige diff.likninger, men sjeldnere i partielle diff.likninger. Samtidig påstår [RTL, s.204] at denne metoden går under navnet Bernoullis metode. Vi skal løse varmelikningen i neste kapittel, men la oss nå følge Fouriers egen argumentasjon.

Fourier antok løsningen av () hadde formen

og Laplaces likning reduseres til

Dette kaller vi altså å separere variablene. Antar man videre at disse andrederiverte er forskjellige fra , får vi

Venstre siden er uavhengig av og høyresiden er uavhengig av Da må begge sidene være uavhengige av både og og dermed væ re like samme konstant. Fourier satte og Han løste så disse differensiallikningene (selve løsningen er ikke tatt med i [JF]) og fikk svarene og [JF, s. 135]. Fourier var ofte rask i vendingen og tok bort konstanter både her og der for å illustrere sine poeng. Videre konkluderte han med at ikke kunne være negativ, siden temperaturen (som nå inneholder faktoren ) ikke kan bli uendelig stor når er uendelig langt unna varmekilden, altså en fysisk betraktning. Lø sningen som han satte opp ble dermed

der og er ukjente konstanter. Konstanten som inngår, kan altså i utgangspunktet være et hvilket som helst positivt tall, men må velges som et odde multiplum av for at temperaturen skal være langs langsidene. Fourier satte så opp den generelle lø sningen, som er en sum av slike funksjoner,

(Fourier brukte indeksering i stedet for ) Han refererte ikke til konvergens og nevnte ikke ordene uendelig sum, men skrev bare [JF, s. 135]:

''En mer generell verdi for får vi lett ved å addere mange ledd liknende det første (...).''

For å tilfredsstille () måtte han forlange at hver er ett odde multiplum av slik at

Fra initialbetingelsen må

Fourier hadde altså gått ut fra en utgangstemperatur () som var en like funksjon og kommet fram til at denne funksjonen kan uttrykkes ved en sum av cosinusledd, sannsynligvis mente han uendelig sum. Det er et eksempel på en type rekke som vi nå kaller Fourierrekke. En fullstending løsning av varmelikningen ville innebære å finne koeffisientene i rekka. Hvordan skulle man nå beregne disse slik at likheten () holder? Måten Fourier gjorde dette på er forskjellig fra det vi gjør i dag. Han hadde altså nå vist at for problemet med denne tynne platen måtte han ha

Så deriverte han () uendelig mange ganger og satte hver gang for å få en uendelig følge av likninger for de ukjente konstantene . Han brukte de sju første likningene til å finne de sju første koeffisientene, og beregnet så de følgende generelt ved induksjon.

Fourier gjorde i første omgang selv ikke så mye for å rettferdiggjø re sine påstander om utviklinger i Fourierrekker. En av grunnene til det kunne jo være at han var mest interessert i de fysiske tolkningene og ikke så nødvendigheten av presise argumenter. Han var ganske skruppelløs når det gjaldt matematisk nøyaktighet og slo seg til ro med beregningene for å finne disse koeffisientene. Fourier gikk ut fra at utvidelsene alltid var gyldige uansett hvilken vi så på.

Hvordan gjør vi dette i dag? Vi skal se hvordan vi nå ville beregnet til å bli

Som nevnt antok Fourier at alle like funksjoner kunne uttrykkes ved en cosinusrekke som i (). Vi antar nå at integrasjon ledd for ledd er tillatt i denne rekka. Dette er tilfelle for eksempel ved uniform konvergens, noe vi kommer inn på senere. Vi tar utgangspunkt i (), multipliserer på begge sider med og integrerer fra til Da får vi

Man kan vise at

og vi viser liknende formler i kapittel 4. Det følger da at

som i formelen (). Fourier brukte forøvrig denne metoden (vi kan kanskje kalle den ''integralmetoden for å finne Fourierkoeffisienter'') senere. Dette var nøyaktig samme formel som Euler i 1777 hadde forutsagt, om en slik rekkeutvikling i det hele tatt var mulig [B/B/T, s.654]. Note_17 Man kan kanskje si at det var noe ufortjent at Fouriers navn skulle være det som ble knyttet til disse utregningene, når han ikke var først ute med dem? Imidlertid påstå s det i [GG] at Eulers resultater ikke ble publiserte før i 1798, men at Fourier uansett ikke selv kjente til disse. Uansett kan vi enkelte steder finne () omtalt som Euler-Fouriers formler.

I vårt spesifikke eksempel er og blir da

Det vil si at Fouriers framgangsmåte gir

for -verdier mellom og [JF, s.153] En interessant konsekvens av () er at vi ved å sette får

som er kjent som Gregorys Note_18 /Leibniz' formel Note_19 . Vi skal snart se at likheten i () skulle by på hodebry. Løsningen som fremkommer for varmeledningsproblemet var dermed:

Det er informativt å se hvordan temperaturen fordeler seg over Fouriers tynne plate etter at man har nådd likevekt. La oss tegne opp de 40 fø rste leddene i denne løsningen med MAPLE for å få et godt bilde av hvor høy temperaturen er på forskjellige steder på platen etter at den har stabilisert seg.

Temperaturen etter stabillisering

Innsigelsene mot Fourier

Lagrange var i mot godkjenning av Fouriers avhandling. Poisson skrev en oppsummering av komiteens vurdering der det stod at den ikke var godkjent, da den ikke inneholdt noe nytt eller interessant. Bak dette utsagnet lå Lagranges oppfatning om at man ikke kunne anvende alle trigonometriske rekker da de ikke nødvendigvis konvergerte. Noen klar presisering av hva konvergens var, hadde man på den annen side ikke. (Cauchy Note_20 kom med den første presise definisjon rundt 1810.) Biot kom også med innsigelser til Fouriers arbeide, spesielt utledningen av varmelikningen. Fourier hadde ikke referert til Biots artikkel fra 1804 om samme tema, men Biots artikkel var heller ikke korrekt. Biot og Fourier nøt hverandres feilskjær i langdrag, og var fiender livet ut. I tillegg hadde også Laplace og senere Poisson innsigelser mot måten Fourier rettferdiggjorde utledningen av varmelikningen på.

Fourier sendte senere et notat til Lagrange vedrørende konvergens av trigonometriske rekker. En artikkel om samme tema ble sendt til Institut de France. Han kom i 1809 med en ny artikkel som omfattet hans tidligere fra 1807, men der han hadde påført fotnoter til å klargjøre det som eksaminatorene hadde stilt spørsmålstegn ved. Lagrange ville imidlertid heller ikke nå utgi eller godkjenne disse tilleggene.

Varmeledningsproblemet opptok også mange andre vitenskapsmenn på denne tiden. I 1811 annonserte det franske akademi en konkurranse om å legge fram den beste forklaringen på problemet. Fourier prøvde igjen. Han gjorde eksperimenter som han sammenliknet med de matematiske forutsigelsene, og leverte Mémoire sur la propagation de la chaleur til stort sett samme komité (Lagrange, Laplace, Malus Note_21 , Haüy og Lacroix) mot slutten av 1811 som et bidrag til Grand Prix de mathématiques 1812. Den stø rste forskjellen fra originalmanuskriptet var noen resultater om Fouriertransformasjoner med tilhørende anvendelser. Fourier vant faktisk prisen i denne konkurransen, på tross av ustoppelige innvendinger fra Lagrange. Dommerne ville likevel ikke ha artikkelen publisert i Mémoires de l'Academic des Sciences. Til og med etter Lagranges død i 1813, ble Fouriers papirer liggende upubliserte. Han forberedte da en bok om analytisk varmeteori for å få gjennomslag for sine teorier. Som nevnt ble Fourier senere sekretær for l'Academic og han ga i 1822 ut sitt eget materiale, [JF], bortimot uforandret.

Problemene lå egentlig dypere enn man hadde trodd. Det som opptok matematikerne mest var at Fourier i dokumentet satte opp den trigonometriske rekka

for på Han brukte her formelen i () for å bestemme () for Her er vi ved kjernen til problemet. Bernoulli satte opp slike summer i 1753 som løsning på problemet med den svingende strengen. Euler, som var ansett som datidens beste matematiker, hadde kategorisk avfeid løsningene og ville nok også nå vært skeptisk til Fouriers beregninger. Spørsmålet som fikk så store konsekvenser var hvorvidt denne rekken kunne konvergere for alle Fourier innså også selv at () bare holder for (å tro noe annet ville vært ganske naivt; han hadde jo bare konsentrert seg om dette intervallet) I sin bok skriver han at vi ikke kan bry oss om hvilke verdier vi får utenfor intervallet. Ved å plotte grafen i MAPLE kan vi også se problemet matematikerne møtte. Grafen til en typisk partialsum for (3 ledd) er framstilt nedenfor.

Partialsuen

Det er også en annen svakhet i argumentasjonen, nemlig at man kan bytte om summasjon og integrasjon:

Det tok flere år før noen innså dette byttet kan lede til feil. Overgangen er jo gyldig så lenge summasjonen er endelig. Nå vet vi også at dette er et gyldig bytte av operasjoner hvis vi har uniform konvergens av Uniform konvergens var ikke introdusert enda på dette tidspunkt.

Lagrange mente han fant feilen angående konvergens i Fouriers arbeide. Poenget hans var at summen av rekka måtte ha en unik grense. Han på stod at rekka

ikke hadde noen veldefinert grense for alle Begrunnelsen var at rekken med absoluttverdier av koeffisientene

vokser uten grense. Denne innsigelsen var nok heller ikke riktig (man kan vel spørre hva Lagranges begrunnelse egentlig var tuftet på? Det er mulig han hadde noen innvendinger som gikk i retning av absolutt konvergens i forhold til vanlig konvergens?). Fourier viste noen år senere at rekken han satte opp for faktisk konvergerte for alle Hvor var da egentlig det logiske hullet som gjorde at man fikk diskontinuerlige funksjoner ved å summere kontinuerlige?

Det tok tid før konvergens av trigonometriske rekker ble skikkelig utforsket. Den første som tok opp problemet med konvergens av Fourierrekker var Poisson i 1820, men heller ikke han klarte å finne ut av konvergensspørsmålet. Fourier prøvde også selv å bevise konvergens i boken sin fra 1822, men så også de fundamentale vanskelighetene. På sett og vis så Fourier hvordan man skulle bevise konvergensen, men klarte bare å antyde hvordan dette skulle gjøres.

Cauchy tok opp problemet i 1826 og publiserte det han mente var en lø sning. Fortsatt var det feil. Ikke en gang Cauchy klarte å gjennomføre et korrekt bevis for når en Fourierrekke konvergerte. Nå hadde han jo også selv presisert konvergensbegrepet og gitt en skikkelig definisjon på dette!

I januar 1829 ble artikkelen Sur la convergence des séries trigonometriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données (Om konvergens av trigonometriske rekker som representerer en vilkårlig funksjon definert på et gitt intervall) utgitt. Forfatter var den da 23 år gamle Dirichlet Note_22 , nylig ansatt som professor i Berlin. På grunn av denne artikkelen blir Dirichlet ofte sett på som grunnleggeren av Fourieranalysen. Artikkelen begynner med å vise hvorfor Cauchy tok feil, og vi kan ta for oss hans eksempel som en avsluttende kuriositet på dette kapitlet. Cauchy antok at hvis konverger, og så vil også være konvergent. Det at må være en skrivemåte for at Cauchys argument hvilte tungt på denne antagelsen, og hele argumentet kollapset hvis dette skulle være uriktig. Dirichlet satte

og

Disse to rekkene, konkluderte Dirichlet, var et moteksempel. Vi har nemlig følgende test:

Vi ser at siden Testen gir at konvergerer, siden monotont når ( er monotont voksende). Vi har også følgende resultat:

Vi så at er konvergent, og vi vet fra før at (den harmoniske rekken) er divergent. Siden

består av en konvergent og en divergent rekke, gir lemma 2 at må være divergent (dette er ikke i strid med Leibniz' test da vi ser at ikke er avtagende). Dirichlet satte så opp det første korrekte bevis for når en funksjon kan representeres ved hjelp av en Fourierrekke som er punktvis konvergent, og der grensefunksjonen er nettopp . Kriteriet viste seg å være at må være stykkevis glatt. Vi minner om at en funksjon er stykkevis glatt dersom definisjonsmengden kan deles opp i endelige mange intervaller der er kontinuerlig. Vi skal se på dette beviset i kapittel 4. Først skal vi se hvordan varmelikningen utledes og løses.

Litteratur

This document created by Scientific WorkPlace 4.0.