PROBLEMENE

Som vi har sett førte Fouriers løsning av varmelikningen til at matematikerne måtte tenke nytt, og det bar noen ganger galt avsted da begrepsapparatet man på den tid var i besittelse av hverken var presist nok eller generelt nok. For å sette Fouriers teorier litt i perspektiv kan vi se på hvordan noen av begrepene man brukte da ble påvirket nettopp på denne tiden, og - i noen tilfeller - av arbeidene hans. Akkurat i hvor stor grad Fourier påvirket utviklingen av analysen får vel være et åpent spørsmål, men at det i hans kjølvann fulgte en presisering og omarbeiding av flere begreper er utvilsomt. Vi kan altså ikke være for strenge mot Fourier når han ikke hadde det samme begrepsapparatet som vi har i dag. Hans arbeider i varmeteori ansees fortsatt som trendsettende for vitenskaplig nøyaktighet. Fourier var først og fremst opptatt av å gi en matematisk beskrivelse av naturen. Han var mindre interessert i matematisk begrepsbygning og teori.

Det som er interessant er at problemstillingene for to hundre år siden er noe av de samme som studenter ved høyere utdanning og elever ved videregående skoler møter i dag. Både teoriene vedrørende integrasjon og funksjoner så vel som konvergensbegrepet måtte revideres. Disse begrepene er jo også problematiske for de som skal læ re stoffet i dag. I dette kapitlet skal vi se på hvordan man ryddet opp i noen av begrepene innen analysen. I et senere kapittel skal vi også komme litt inn på hvordan dette kan relateres til skolematematikken i våre dager.

I 1873 kom Du Bois-Reymond Note_1 med et eksempel på en funksjon som var -periodisk og kontinuerlig, og som hadde Fourierrekke som divergerte i et punkt [TWK, s.67]. Men Fourier påsto jo at alle funksjoner kunne representeres ved Fourierrekker som konvergerer mot funksjonen! Hvordan skulle man da kunne ha en ''pen'' Fourierteori? Nå må vi tenke oss til holdningen Fouriers samtid hadde til matematikk. Man skulle ha en helhetlig vitenskap, og analysen skulle være generelt gyldig innenfor en passende valgt klasse av funksjoner. Med slike funksjoner som Du Bois-Reymond la fram, så det ut til at man måtte skreddersy funksjonsklasser avhengig av hvilket problem man studerte. Dette var en vanskelig tanke for to hundre år siden, og ble nok oppfattet som matematisk fusk. Vi kan kanskje se for oss flere veier ut av uføret:

• Funksjonsbegrepet kunne redefineres, slik at man kunne finne en klasse funksjoner som var spesielt egnet innen Fourieranalyse, og der man kunne ha ''pene'' resultater. Dette må vel likevel sies å være en kunstig løsning av problemet.

• En annen løsning ville være å oppdatere selve konvergensbegrepet, altså ved å finne andre måter rekker kan konvergere på. Slik kunne man kanskje snakke om en spesiell klasse rekker som passet til problemet.

• En tredje mulighet kunne være å finne andre systemer som basis for utvikling i Fourierrekker, slik at ''skrekkeksempler'' som Du Bois-Reymond fant ikke skulle forekomme.

Alle disse remediene ble (selvfølgelig) undersøkt, og de utforskes fortsatt. Vi skal i dette kapittelet se på den første muligheten, det vil si ta for oss hvordan sentrale begreper som funksjon, konvergens og integral ble endret på denne tiden. I kapittel 5 skal vi se på hvordan Fejér brukte den andre utveien, nemlig ved å finne en annen type konvergens. Den tredje utveien førte til en helt ny gren av Fourieranalysen, såkalt Wavelets, som er et veldig aktuelt område i dag.

Først tar vi en kikk på utviklingen av funksjonsbegrepet.

Funksjonsbegrepet

Man begynte å debattere funksjonsbegrepet allerede før Fourier kom på banen. Et av problemene som førte til en slik diskusjon var imidlertid ganske likt Fouriers varmeledningsproblem. Problemet med den svingende strengen satte fart (og sinne) i diskusjonen. Problemet var: hva er egentlig en funksjon? Hvordan skulle man presist definere en funksjon? Det er ikke tvil om at enkelte hadde sterke følelser rundt dette, og at debatten varte over lang tid. Det ser vi klart fra et utsagn fra Hermite Note_2 , som i et brev til Stieltjes Note_3 skrev (1893):

''Jeg snur meg med frykt og avsky bort fra denne beklagelige farsotten av funksjoner som ikke har noen derivert.''

Hvorfor er funksjonsbegrepet så viktig? En av grunnene kan være at man i uminnelige tider har vært opptatt av hvordan ting endrer seg. Spesielt har (og er) endring i tid noe man har forsøkt å utforske. Hvordan månen (eller andre legemer) beveger seg på himmelen er eksempel på det, så dette er altså funksjoner av tiden. Et slikt funksjonsbegrep er imidlertid veldig filosofisk, og ikke presist nok i en matematisk sammenheng.

Eulers funksjonsbegrep

Man sier gjerne at begrepet funksjon, som et grunnbegrep i den matematiske analysen, fødtes ved innføringen av Eulers funksjonsbegrep i 1755. Men selv om Euler kom med et funksjonsbegrep som likner vår tids definisjon, var ikke den matematiske verden på den tiden like flinke til å anvende Eulers begrep i praksis. Først Dirichlet benyttet i praksis Eulers funksjonsbegrep.

Fra kurver til funksjoner

Helt opp til 1500-tallet hadde man en oppfatning av at algebra og geometri var omtrent samme sak. I [TL1, s.211] nevnes eksemplet med at det som vi i dag ser på som en andregradslikning ble sett på som en geometrioppgave med kvadrater og rektangler. Likninga ble oppfattet som å finne ''det linjestykket som er slik at arealet til et kvadrat med sider er lik summen av arealene av rektanglene med sider på henholdsvis og og og En slik sammenheng sporer vi helt tilbake til de gamle grekere. Denne ''geometriseringen'' gjorde kanskje sitt til at generelle funksjoner som ikke var knyttet til en fysisk tolkning ikke var så mye brukt. Først med inntoget til den analytiske geometrien begynte ting å likne på det som vi kjenner til. Selv om Leibniz etterhvert kom med sin infinitesimalregning, dreide det seg likefullt om kurver og arealer under kurvene.

Etterhvert ble det gitt ut to arbeider med en ny vinkling. Fermat Note_4 ga ut Isagoge ad locos planos et solidos isagoge (Om likningene til plan og faste legemer; 1679), og Descartes ga ut La Géométrie (1637) som en utvidelse av hans hovedverk Discourse de la méthode Note_5 . I arbeidene til disse to storhetene markeres overgangen til at man beskriver en kurve kun ved hjelp av en likning eller utsagn av typen

''en sirkel med radius og sentrum i er de punkt og som tilfredsstiller

Fram til midten av 1700-tallet endret nå fokus seg gradvis fra kurver til funksjoner.

To ankepunkter hos Euler

Euler skulle nå komme med sin funksjonsdefinisjon, og han kvitter seg med kurvebegrepet i verkene Introductio in analysis infitorum (1748) og Institutiones calculi differentialis (1755). Her definerer han en funksjon slik:

''En funksjon av en variable størrelse er et analytisk uttrykk som på en eller annen måte er sammensatt av denne variable størrelsen og av tall eller konstante størrelser.'' ([JL, s.7], [TL1, s.212])

Ideen til en slik definisjon hadde kommet fra Bernoulli (1718). Noen ankepunkter har vi imidlertid til en slik definisjon:

• Hva han mente med analytisk uttrykk er uklart. Kun ved å se på Eulers praktiske bruk av funksjoner kan vi prøve å forstå hva han mener. Lebesgue Note_6 ga senere det vi i dag bruker som definisjon av analytisk uttrykk. fyll ut kanskjecomment

• Variabel størrelse er et annet begrep fra definisjonen som bør kommenteres. Her mener Euler at de variable skal kunne anta alle komplekse verdier, og ikke benyttes kun på et intervall. Igjen er det ønsket om den helhetlige analysen som ligger bak. Denne tanken blir også gjerne kalt den variables generalitet. Euler begrenset seg riktignok til de reelle tallene enkelte ganger, men ytterligere skjerpinger ville han nok ikke godtatt.

Innunder Eulers begrep havner forskjellige typer formler, som kunne være sammensatt av endelig eller uendelig mange operasjoner. Vi skjønner at det at han ikke skilte mellom divergente og konvergente rekker ville føre til selvmotsigelser. Euler så på

som vi nå vet kun holder for Euler ''definerte seg ut av problemet'' ved å si at summen til en rekke er

''det uttrykket som framkommer av rekkeutviklingen til en uendelig rekke.''

Flere var skeptiske til dette, blant andre d'Alembert (og senere Abel) mente at man ikke kunne regne slik med rekker som ikke konvergerte. Ellers ble også uttrykk som hadde flere -verdier tilhørende en og samme -verdi inkludert av Eulers funksjonsbegrep. Funksjonslikhet ble også annerledes enn hvordan vi ville ha forklart det i dag. For eksempel er to funksjoner like hos Euler dersom han klarer å omforme den ene til den andre. Vi ville ha sagt at to funksjoner og er like dersom de er definert på en felles definisjonsmengde og for alle i definisjonsmengden.

Man tilla på denne tiden funksjoner mange egenskaper som vi i dag ser på som langt fra selvfølgelige. F.eks. at alle funksjoner kan utvikles i en potensrekke. Euler skrev til og med at den faktiske utvikling av en funksjon i potensrekker ville fjerne enhver tvil man måtte ha omkring lovligheten av dette.

Fra kurve til funksjon og tilbake til kurve

Snart kom problemet med den svingende strengen i søkelyset, og følgelig debatten om hvilke funksjoner man kunne tillate som utgangsposisjoner for strengen (også omtalt i kapittel 1). Her hadde d'Alembert funnet en løsning sammensatt av analytiske uttrykk. Han brukte imidlertid Eulers første funksjonsbegrep. Euler mente dette begrenset klassen av mulige utgangsposisjoner. Men siden odde utvidelser av utgangsposisjonen inngår i løsningen mente Euler at slike odde utvidelser av funksjoner også måtte komme innunder funksjonsdefinisjonen. Ansporet av de fysiske mulighetene i problemet tillot han vilkårlige kurver som utgangsposisjon og utvidet disse i en odde, periodisk funksjon. Hans eget eksempel var en streng som ved hadde form som en del av en sirkelperiferi. Euler sa at man finner utgangsfunksjonen ved å gjøre denne periferien odde og periodisk, og altså ikke følge den analytiske fortsettelsen (som Euler uttrykte det), som er sirkelen.

Euler gikk nå (ett år etter hans innføring av funksjonsbegrepet) tilbake på sin egen definisjon og godtok nå også delt forskrift. Dette ble gjort i arbeidet De usu functionum discontinarium in analysi, og han kalte disse diskontinuerlige funksjoner. Altså en helt annen betydning av begrepet (dis-)kontinuerlig enn vi bruker i dag. I [JL] benyttes notasjonen E-kontinuerlig for å skille Eulers oppfatning av kontinuitet fra vår. Dette hadde selvfølgelig ingenting med kontinuitet å gjøre, slik vi definerer det i dag. For eksempel er

diskontinuerlig etter Eulers definisjon, men kontinuerlig etter dagens definisjon. Euler kalte også funksjoner som var tegnet helt på frihå nd, altså løsrevet fra et analytisk uttrykk, for diskontinuerlige.

Nå hadde man altså før hatt et funksjonsbegrep som tilordner en kurve til en funksjon, mens ringen nå ble sluttet ved at man fikk en korrespondanse tilbake igjen. Altså at en vilkårlig kurve skulle kunne betegne en (muligens E-diskontinuerlig) funksjon. Striden med d'Alembert om strengen fortsatte. Nå mente d'Alembert rett og slett at det var fusk å benytte slike utvidelser av utgangsposisjonen. Igjen ser vi at man helst hadde ønsket seg at analysen hadde hatt de pene egenskapene man fant innen de analytiske uttrykkene. En enda sterkere kritikk av Euler kom da d'Alembert viste at de E-diskontinuerlige funksjonene ikke ville tilfredsstille bølgelikningen der den andrederiverte hadde en diskontinuitet. For eksempel har funksjonen over et knekkpunkt og vil ikke være deriverbar der.

Eulers ''nådestøt'' fra Fourier

Etter at Fouriers bok om varmeteori hadde blitt utgitt i 1822, og Fouriers teorier blitt mer kjent, fikk man flere indikasjoner på at Eulers funksjonsbegrep ikke var tilstrekkelig. Her kom de mest konkrete eksemplene på at definisjonene til Euler ikke var de mest fordelaktige. Fourier hevdet at en like funksjon kan representeres ved

og mente dette gjaldt for alle like funksjoner. Funksjonen var her diskontinuerlig (trappefunksjonen vi så i kapittel 1), men uttrykket på høyre side er jo en sum av kontinuerlige funksjoner, og denne mente man jo var kontinuerlig. Og det var jo veldig rart, at en funksjon som etter Eulers kontinuitetsbegrep var diskontinuerlig kunne skrives som et uttrykk som var kontinuerlig, fortsatt etter Eulers definisjon. Fouriers påstand i hans bok [JF, s.432] om at

''Det fins ingen funksjon , eller del av funksjon, som ikke kan uttrykkes ved trigonometriske rekker'',

må altså ses på som ''riktig'' ut fra hans begrepsapparat, men galt etter våre dagers utvidelser. Denne feilen slet man imidlertid med å oppdage. Til og med Cauchy ''beviste'' jo et ugyldig teorem der han på stod en uendelig sum av kontinuerlige funksjoner selv var kontinuerlig. Det videre arbeidet med Fourierrekker var medvirkende til at hele analysen ble revidert, og funksjonsbegrepet var et av de temaer som fikk en konsistent utforming. Cauchy står her sentralt. I stedet for å basere en stringent oppbygging av analysen på algebra bygger han den nå opp rundt en presis definisjon av limes-begrepet. I Cours d'analyse av 1821 finner vi hans funksjonsdefinisjon. Denne lyder [JL]:

''Når variable størrelser er knyttet sammen på en slik måte at den ene kan bestemmes når alle de andre er kjente, betrakter man vanligvis de forskjellige størrelsene uttrykt ved en av dem, som da kalles den uavhengige variabel. De andre størrelsene, som uttrykkes ved uavhengige variabel kaller vi funksjoner av denne variablen.''

Cauchy delte funksjonsbegrepet opp i enkle funksjoner og sammensatte funksjoner. De enkle bestod av 11 funksjoner;

der og De sammensatte funksjonene kan man så lage ved å sette sammen de enkle funksjonene på forskjellige måter. Nå begynner man også for alvor å innse mangler ved de analytiske uttrykkene. Cauchy viser f.eks. at ikke kan representeres ved sin Taylorrekke i 0.

Det var også i arbeider om Fourierrekker at Eulers definisjon i praksis ble byttet ut med sammenhengen av variabler. Lobachevskii Note_7 og Dirichlet gjorde dette uavhengig av hverandre (i hhv. 1834 og 1837).

Dirichlets funksjonsbegrep

I arbeidet av 1837 gir Dirichlet følgende definisjon av en funksjon [JL]:

Hvis hver tilsvarer ett endelig , slik at når varierer fra til kontinuerlig, så endrer seg litt etter litt, kaller vi en funksjon av

I definisjonen ser vi Dirichlet konsentrerer seg om et intervall fra til dette var nok vanskelig å fordøye for de mest konservative som fremdeles klynget seg fast til håpet om variablens generalitet, altså at en variabel kan anta alle verdier (helst alle komplekse verdier og i ''verste fall'' tallinjen). Dirichlets krav om entydighet var også noe nytt her. Dirichlet påpekte at en funksjon ikke nødvendigvis bestemte et areal under grafen. En funksjon kunne i følge Dirichlet være så merkelig at man ikke kunne snakke om et areal under grafen. Som et eksempel ga Dirichlet i 1829 funksjonen

nå også kjent som Dirichlet-funksjonen [B/N/B] og noen steder som den karakteristiske funksjonen på . Dette er det første eksemplet på en funksjon som ikke er tilknyttet et analytisk uttrykk og det skulle etterhvert dukke opp en lang rekke funksjoner med egenskaper man ikke trodde funksjoner kunne ha.

Hva ''er'' en funksjon i dag? En definisjon fra [TL, s. 216] / [JL, s.5]:

En funksjon er en mengde ordnede par der og og der hver hører med til nøyaktig ett par.

Integralbegrepet

Vi har vært inne på at et av problemene man møtte i forbindelse med Fouriers løsning av varmelikningen, var meningen man skulle legge i et uttrykk som

Holdningen blant vitenskapsmenn på denne tiden var at integrasjon var antiderivasjon, hverken mer eller mindre. Etter Newtons bevis for fundamentalteoremet hadde man gradvis gått bort fra den opprinnelige definisjonen av integralet som grensen for en sum, og i stedet konsentrert seg om antiderivasjon. Kanskje var begeistringen over og nytten av det fantastiske fundamentalteoremet så stor at man glemte den opprinnelige ideen? Det ubestemte integralet

''var'' i 1807 altså en funksjon som hadde som derivert. Og dette ble et problem. Det er selvsagt ikke tilfelle at man alltid kan finne et eksplisitt uttrykk hvor den deriverte av denne blir det vi ø nsker, f.eks. . Med Fouriers beregninger fikk man igjen bruk for at integralet var arealet under en kurve. Noe som førte til et nytt problem; hva er et areal? (De var selvfølgelig klare over at arealer under -aksen måtte tolkes som negative bidrag). Man kunne vel tenke seg å definere areal som integralet av en eller annen funksjon, men da går man i ring. Vi må altså finne en annen definisjon av integralet.

En annen morsom detalj er at det var Fourier som var først til å sette grenser på integraltegnet, som f.eks. Tidligere hadde grensene blitt angitt kun med ord. Faktisk var det også Fourier som introduserte tegnet som summasjonssymbol [JP, s.7].

I Dirichlets bevis for konvergens av Fourierrekker krevde han at må tte være integrerbar over Det at en funksjon er integrerbar forandret også betydning etter hvert. I flere omganger fulgte nye definisjoner av integralbegrepet. Cauchy i 1820-å rene, Riemann Note_8 i 1860-årene, Darboux Note_9 i 1875 og Lebesgue i 1902 ga alle slike definisjoner. Vi skal fort gå gjennom hovedtrekkene i de forskjellige epokene.

Cauchy-integralet

Cauchy var den første som definerte integralet som en grense for en sum [TL1, s. 380]. Kva med Newton og Leibniz!comment Ved noen revolusjonerende forelesninger ved Ecole Polytechnique i 1820-å rene la han frem sin definisjon. Integralet ble definert slik:

Figuren under illustrerer Cauchys ide om at vi ikke har noen valgmuligheter når partisjonen er gitt. Funksjonen passerer gjennom øvre venstre hjø rne av hver søyle med bredde og høyde :

Vi skal i neste kapittel se hvordan Dirichlet beviste konvergens av Fourierrekker, og det var da Cauchys integralbegrep man hadde for hånden.

Riemann-integralet

Riemann-integralet er et noe mer fleksibelt verktøy enn Cauchys integral. Kanskje er dette også det mest kjente integralbegrepet. Han var nok inspirert av Cauchy, men i stedet for å være bundet til et punkt i venstresiden av partisjonsintervallet tillater Riemann at funksjonen vi skal integrere skjærer toppen av søylene på partisjonsintervallene i et vilkårlig punkt i intervallet. Heldigivis er disse to integralbegrepene ekvivalente. Det er tross alt snakk om det samme arealet. En funksjon er integrerbar etter Cauchys definisjon av integralet hvis og bare hvis den er integrerbar etter Riemanns integraldefinisjon, og verdien av integralet er den samme, men det er ikke trivielt å bevise det.

Figuren under illustrerer Riemanns ide.

Darboux-integralet

Etter Riemanns definisjon av integralet, skulle også Darboux komme med et integralbegrep (1875). Denne definisjonen var kanskje enda litt mer elegant enn Riemanns versjon. Det kan vises at vi ikke får noen utvidelser av det integralbegrepet vi har definert foran, men en annen måte å definere integralet på (Selv om Darboux-integralet er det som introduseres i mange lærebøker kommer det kanskje ikke alltid fram at det er Darboux' definisjon vi snakker om)! Vi finner i [TL1, s.322ff] en gjennomgang av Darboux-integralet. Det vi trenger i Darboux' definisjon er at funksjonen er begrenset. Det gir da mening å snakke om og

Vi lar igjen være en partisjon

av der intervallene mellom partisjonspunktene ikke nø dvendigvis er like lange. Idéen til Darboux var å tilnærme funksjonen vi ønsker å integrere med rektangler både under og over funksjonen. Ved å sette

og

får vi følgende formler for øvre sum og nedre sum (også kalt oversum og undersum) for arealet under grafen,

og

Tilsvarende defineres øvreintegralet

og

der gjennomløper alle partisjoner av Vi kan da gi følgende definisjon:

Ser vi på eksemplet med Dirichletfunksjonen i () ser vi at denne fortsatt ikke er integrerbar. Uansett hvordan vi velger vå re partisjonspunkter vil alle intervall inneholde rasjonale og irrasjonale tall. Siden

og

uansett hvilke partisjoner vi ser på, så er ikke integrerbar.

Også denne integraldefinisjonen er ekvivalent med Riemann og Cauchys definisjoner, men det er imidlertid ikke helt trivielt å vise dette (se for eksempel [TL1, s.348]).

Lebesgue-integralet

Selv om Riemann-integralet kanskje er det mest kjente, er likevel Lebesgue-integralet det mest brukte i avansert litteratur. Se for eksempel [R, s.77ff]. Lebesgue snudde på en måte Riemann-integralet på siden. I stedet for å dele arealet under en graf opp i søyler, delte han det opp i horisontale nivåer, som automatisk partisjonerer definisjonsområdet. Legg igjen merke til hvor enkel ideen er! Et eksempel fra [B/B/T, s.60f]: Tenk at du trekker mynter opp av lommen og skal telle hvor mye penger du har. Du kan gjøre det på to måter:

• Tell pengene i den rekkefølge du plukker dem opp, f.eks. 10kr + 5kr + 1kr + 1kr + 5kr = 22kr.

• Gruppér pengene etter verdi, altså 1 tier + 2 femmere + 2 kronestykker = 22kr

Første regnemåte tilsvarer Riemanns integralmetode, mens andre måte tilsvarer Lebesgue-integralet. Lebesgues integral bygger på målteori. Veldig kort fortalt: et mål er en funksjon , der er en klasse av delmengder av . Denne funksjonen tilordner et reelt tall til en mengde i Dette kan ses på som en slags størrelsesmål på mengden. Ser vi igjen på eksemplet med pengene kan vi si at målene på pengene er myntverdien, 1, 5 eller 10. Ved Lebesgue-integrasjon summerte vi altså hvor mange mynter vi hadde av hver bestemt verdi. Dette konseptet overfører vi nå til funksjoner.

Et viktig poeng ved Lebesgue-teorien er at vi kan tillate oss å se bort fra integralet over mengder med mål 0, som for eksempel de rasjonale tallene Først deles den vertikale aksen opp med en partisjon

Dernest lar vi På figuren blir da unionen av to halvåpne intervaller. Vi har da fått en partisjon

der er parvis disjunkte. Vi danner summene

og

som en tilnærming av arealet under grafen. Vi må da forlange at det inverse bildet av tilhører de mengdene som vi kan anvende mål-funksjonen på. Vi snakker da om at er målbar. Hvis -mengdene er forholdsvis enkle, som for eksempel en endelig union av intervaller, så vil situasjonen være omtrent som i Riemann-integralet. Men kan være mer kompliserte, for eksempel trenger de ikke å inneholde noe intervall i det hele tatt, jf. Dirichlet-funksjonen. Vi trenger en grundig gjennomgang av begrepene målbare funksjoner og målbare mengder skulle vi fulgt Lebesgue--teorien til bunns. Hvis vi kan få disse to summene vilkårlig nær hverandre sier vi at er Lebesgue-integrerbar og integralet er den felles grensen for summene Med en slik definisjon av integralet kan vi igjen ta for oss Dirichlets funksjon i (). Vi ser bort fra de mengdene som har mål 0, det vil si de rasjonale tallene. Verdien av integralet blir da

Lebesgue viste også at det fins ikke-målbare funksjoner. Disse kan da ikke integreres, ut fra hans definisjon av integralet. Det kan faktisk vises at det ikke lar seg gjøre å lage et integralbegrep som er slik at vi kan integrere alle funksjoner med det funksjonsbegrep vi nå benytter [TL1].

Konvergens

Også her har man sett eksempler på voldsomt engasjement. Abel Note_10 skrev som kjent;

''Divergente rækker er i det hele noget fandenskab, og det er en skam at man vover at begrunde nogen demonstration derpå.''

De viktigste spørsmålene om Fourierrekker er (og var også på Fouriers tid) når de konvergerer. Problemer dukket da naturlig nok opp, da man ikke hadde noe veletablert konvergensbegrep. I våre dager benytter vi flere typer konvergens. Fourierrekker kan således også konvergere på forskjellige måter. Eksempler på dette er konvergens i -norm og i Cesaro-middel (se f.eks. [B/N/B]). De to vanligste formene for konvergens er imidlertid punktvis og uniform konvergens.

Dette er en naturlig definisjon av konvergens og var nok også denne man hadde i tankene på Fouriers tid. Det høres fornuftig ut å si at en funksjon konvergerer mot en grense dersom den konvergerer for hver . En stor ulempe ved punktvis konvergens er det likevel. Man kan ikke integrere en punktvis konvergent rekke ledd for ledd og være sikret å få samme integralverdi som ved å integrere grensefunksjonen. Vi husker at Fourier benyttet seg av

for å finne formelen for Fourierkoeffisientene. Siden en uendelig sum er grensen for følgen av partialsummer må vi betrakte problemet som ombytte av integrasjon og grensebetraktning. Vi setter ovenfor og ser på følgen Betrakt følgende klassiske eksempel, som viser at

ikke holder generellt:

Example (Heksehatten)

La funksjonsfølgen væ re gitt ved

når og for For hver kan vi finne et naturlig tall slik at og da er for alle Hvis så har vi Uansett har vi at for alle Det vil si at konvergerer punktvis mot funksjonen på intervallet For hver er

siden arealet under grafen til er Men vi har da

Vi kan altså ikke bytte om grenseoperasjonen og integrasjonsoperasjonen.

Heksehatten
På figuren kan vi få et hint om hva som egentlig skjer. Selv om funksjonsfølgen konvergerer punktvis mot grensen så vil arealet holde seg konstant lik

Man kan altså generelt ikke gjøre som Fourier. Vi synes kanskje ikke dette er så rart, med alle skrekkeksempler på hva som skjer ved uendelige prosesser. Vi trenger strengere krav til en funksjonsfølge skal vi kunne integrere den ledd for ledd. Cauchy introduserte remediet i 1826; uniform konvergens.

Dette er en sterk antakelse, men vi kan da vise at leddvis integrasjon holder [PRA, s.54].

I forbindelse med Fourierteori ser vi også klart forskjellen på uniform og punktvis konvergens av rekker. Denne forskjellen illustreres med Gibbs fenomen i et tillegg.

Litteratur

Neste: Fourierrekker

Forrige: Varmelikningen