diverg.htm

Vi har (kap. 2) utledet varmelikningen ut fra fysiske betraktninger i en dimensjon. En annen måte er å benytte Gauss' divergensteorem. Dette er skissert i [E/P, s.956], og det skal vi se litt på nå. Varmelikningen i tre dimensjoner er
MATH

der

Denne kalles Laplaceoperatoren. La oss først stille opp divergensteoremet for referansens skyld:

Theorem (Divergensteoremet)

[E/P] Anta er en lukket, stykkevis glatt flate som avgrenser det romlige området La være et vektorfelt der komponentfunksjonene og har kontinuerlige fø rste ordens partielle deriverte på . La $\QTR{bf}{n}$ være den ytre normale enhetsvektoren til Da er
MATH
der
MATH

Vi skal nå se på hvordan vi, på en litt mer moderne måte enn Fourier, kan komme fram til at en temperatur

i punktet

ved tiden

måtte tilfredsstille likningen
MATH

Anta vi har et vilkårlig legeme

med flate

Som før lar vi

$\rho$ være tettheten,

spesifikk varmekapasitet og

temperaturen ved tiden

i posisjonen

i legemet. Temperaturen antas å være glatt. Volumelementet

har massen

$\rho dV$ . Varmemengden som trengs for å varme 1 cm

$^{3}$ 1 grad er

så

$\rho cdV$ er det som må tilføres for å varme volumelementet 1 grad. Varmemengden som må tilføres

for å varme dette

grader er da

$\rho cu\,dV.$ Varmemengden (eng.: heat content)

$H\left( t\right)$ i legemet

ved tiden

er derfor

Vi antar derivasjon under integraltegnet er tillatt, og raten varmemengden i

endres med pr. tidsenhet ved tiden

Den eneste måten varmemengden inne i

kan forandres på (når vi ser bort fra at den øker eller avtar på grunn av kjemiske reaksjoner) er at varmeendringen skjer på grunn av strømning gjennom flaten

I det endimensjonale tilfelle er varmestrømmen proporsjonal med størrelsen til gradienten og flyter i negativ retning. Hvis vi da ser på et flateelement