PARALLELL TIL UNDERVISNING

I Læreplanen finner vi følgende:

''Matematikk har lange historiske tradisjoner og har alltid vært en viktig del av vår kultur. (...) Opplæringen i faget har som mål at elevene utvikler innsikt i matematikkens historie og fagets rolle i kultur og vitenskap.''

Dette utdraget fra læreplanen viser at matematikkens historie står sterkere i skolematematikken enn på lenge. Vi aner kanskje en sammenheng mellom Fouriers problemer og det elever og studenter sliter med, både i den videregående skolen og på høgere nivå. Vi skal nå se en gang til på disse begrepene i dagens skole.

Et par pedagogiske begrep som står sentralt i den forbindelse:

• Assimilering - Det vil se hvordan man setter gammel kunnskap i sammenhenge med ny kunnskap. Altså hvordan man binder sammen det man vet fra før, med det man skal lære.

• Skjematenkning - Begrepet skjema betegner det mentale bildet hver enkelt danner seg av et bestemt lærestoff.

I boken Thinking mathematically [JM], som er brukt i læ rerutdanningen, trekkes det opp strategier for hvordan matematiske problemer kan løses. Flere begreper som blir drøftet i denne boken passer godt inn i forløpet til problemet med konvergens av Fourierrekker:

• Getting involved , er et sentralt aspekt ved å tenke matematisk. Fourier selv var jo i høyeste grad veldig involvert på den måten at det var nøye undersøkelser og eksperimenter med varme som gjorde at han utviklet nye matematiske ideer.

• Et annet begrep er mulling (vi har noe av det samme på norsk, når vi sier at tankene kverner rundt), som symboliserer at man ikke helt lar et problem slippe unna tankene, selv om man ikke har fokus 100% på det hele tiden.

• Til slutt oppnår man forhåpentligvis insight , noe man også godt kunne kalt ''A-ha-opplevelsen''. En slik kunne for eksempel være å oppdage sammenhengen mellom Fourier-koeffisienter integraler.

• Kanskje det beste eksemplet på at Fourierteorien følger mønsteret i løsningen av et standardproblem er begrepet stuck. Som det blir sagt i [JM]: ''Being STUCK is a great state!''. Hva menes med dette? Jo, forfatteren mener at det å være stuck er en veldig viktig del av den kreative prosessen. Poenget er at det er da man virkelig har muligheten til å lære noe nytt! Slik er det nok også med elever og studenter i dag. Når de står virkelig fast, har de en gylden mulighet til å tilegne seg dypere forståelse av problemet. Kanskje ligger det noe å ta fatt i her; i undervisningsprosesser i dag er det ofte en sovepute for elevene at man får løsninger ferdige servert før man har stått fast selv. Poenget må jo være at man ved være stuck vet hva vanskelighetene stikker i, og dermed får bedre utbytte av å få en løsning på problemet, eventuelt gitt av andre.

Har vi i dag noe hjelpemiddel for å hjelpe elever og studenter gjennom disse fasene? Et virkemiddel som Fouriers samtid iallfall ikke var i besittelse av var datamaskiner. Datamaskiner i undervisningen er ofte uglesett av mange. En kritikk man med rette kan anvende, er at man ikke er i stand til å bevise noenting ved hjelp av en datamaskin. Men som en pekepinn på vei til et resultat kan de være til uvurderlig hjelp.

I tillegg C finner vi en beskrivelse av Gibbs fenomen. Dette fenomenet ble jo oppdaget nettopp på grunn av at Michelson Note_1 hadde matet en maskin (sannsynligvis en primitiv form for regnemaskin) med en datamengde han mente var tilstrekkelig for å få resultatet han ønsket. Men når han senere studerte partialsummene i Fourierrekka han undersøkte, ble han ikke kvitt de ''hattene'' som vi nå altså kjenner som Gibbs fenomen - og som vi vet skyldes forskjellen mellom punktvis konvergens og uniform konvergens.

Funksjonsbegrepet

Elever i videregående skole kommer gjerne til høyere utdanning med forestillingen om at en funksjon er en kurve i planet (eller som mange elever tror; en strek på papiret), og framstillingen man etterhvert kommer til, nemlig at det dreide seg om sammenhenger mellom variable, kunne vært klarere presist. Studenter i NTNU-faget MNFMA001 (for mange det fø rste møte med flerdimensjonal analyse) møter for eksempel funksjoner som beskriver temperatur i rommet, kanskje er de av typen . Hvordan skal man kunne assimilere et slikt begrep hvis man er fastlåst til sine gamle begreper, og samtidig skulle tro man er i stand til å tegne en slik funksjon? Og hvem fikk vel høre i 2MX / 3MX at det fins funksjoner av typen som nevnt tidligere? Man kan vel innvende at slike funksjoner ikke bør stå sæ rlig sentralt i videregående skoles matematikk-pensum, men det må vel ligge et poeng i å vite at de fins? I alle fall burde lærerne være klar over situasjonen.

En måte å illustrere en slik sammenheng på, og som kan forstås tidlig, er ved den gode, gamle ''funksjonsmaskinen''. (Finnes faktisk i Tambs-Lyches analysebøker). For å vise at man ikke er fastlåst til et enkelt uttrykk, kan man demonstrere med en maskin som produserer etter hvert som den blir matet med Og at bare er navnet på maskinen. En slik Petter Smart-maskin viser på en fin måte at det dreier seg om samhørende verdier og at man ikke nødvendigvis har formler som beskriver enhver funksjon i matematikken. Assimilering av funksjonsbegrepet kunne da kanskje skjedd på en annen måte enn hvis man gyver rett løs på bruk av grafiske framstillinger. Dette kan jo også lett demonstreres med en datamaskin. Visse websider tar også for seg et slikt skjema ved å lage en interaktiv maskin der elever kan putte hva som helst oppi og observere hva som kommer ut.

Et slikt skjema, er også fruktbart med tanke på senere anvendelser i programmering av datamaskiner. Da skal man gjerne finne et uttrykk som tilsynelatende ikke har med grafer å gjøre, men snarere sammenhenger mellom input og output.

Integralbegrepet

Ved høgere utdanning ergrer man seg ofte over nye studenters oppfatning av integralbegrepet. Tendensen har i lang tid vært at elever i videregående skoler sitter med oppfatningen at integrasjon er nøyaktig det samme som antiderivasjon. Selv om hverken lærere eller skolebøker legger fram akkurat denne påstanden, så burde kanskje situasjonen blitt klarere framstilt for elevene. At en slik oppfatning er uheldig også med tanke på videre studium er opplagt (og velkjent). En elev som lærer å regne ut de integralene han/hun blir presentert for i videregående skoles matematikk kan nok miste noe av motivasjonen når en på universitet og høgskoler begynner å lage Riemann-summer. Lang tid brukes for å få fundamentalteoremet etablert. ''Hva er vitsen med å gjøre det så tungvint?'' (Hva slags skole har man havnet på hvis man ikke vet at det er bare å antiderivere?) Ergrelsen er vel heller ikke så vanskelig å forstå. På en måte kan man si at mange elever har det samme problemet matematikerne hadde på Fouriers tid med at man hadde sett seg blind på fundamentalteoremet. Og hva er det egentlig som er hovedtanken i skolen? Hva er viktigst; skal elevene forstå begrepene og teorien bak, eller skal de være i stand til å bruke ferdige formler til å komme med håndfaste resultater?

Grensebegrepet er nok vanskelig, men ville det ikke være mer næ rliggende for skoleelever å tenke seg integralet som grensen for sum av tynne biter enn som en antiderivert?

Et eksempel fra virkeligheten: En skoleklasse (3MX) på 11 elever fikk spørsmålet ''hva er et integral?'' Ti av elevene svarte ''antiderivasjon''.

Kanskje er også skolebøkene for uklare på dette området. Det trengs kanskje ikke så mye for å pensle elevene inn på rett spor heller. Se på de første linjene i en eldre utgave av boken 2MN [S/Ø].

''I dette kapitlet skal vi lære å integrere funksjoner. Det skriver vi slik: . Vi kan tolke integrasjonen geometrisk som å finne arealet mellom grafen til en funksjon og -aksen.''

Leser man litt videre i denne introduksjonen kommer man straks innpå Leibniz' tanker om at integrasjon var å summere ''alle tynne linjer'' under en graf. Da kan vel ikke veien være særlig lang til å skjø nne hovedideen? Riktignok nevnes ikke at integralet av en funksjon som ligger under -aksen kommer ut som negativt og dermed vanskelig kan ses på som et areal, men dette kommer man inn på litt senere.

En måte å takle dette problemet på i undervisningen er for eksempel å ta i bruk IKT-hjelpemidler. Programvare til bruk i undervisningen er gjerne uglesett både av lærere og pedagoger, men akkurat i tilfellet innføring av integrasjonsbegrepet kan de etter min mening så absolutt finne sin plass. Et kjent pedagogisk prinsipp er at elever må presenteres for mange eksempler innenfor en kort tidsperiode for å lære et nytt begrep. Riemann-summer tar imidlertid ganske lang tid å illustrere om man skal tegne og regne på et stort antall søyler for hånd. Etter å ha prøvd det ett par ganger for hånd kan man gjerne overlate til et dataprogram å ytterligere få klarhet i begrepet. Med IKT kan man på kort tid presentere mange situasjoner som illustrerer konseptet med arealet under en graf som grensen for en sum.

Selve eksperimentet blir det samme med slikt verktøy, men med slike hjelpemiddel kan elever selv forandre antallet søyler til praktisk talt så mange de vil. Man trenger ikke tenke på de regnetekniske vanskelighetene i første omgang, men bare studere selve egenskapen til integralbegrepet. Funksjonen kan selvfølgelig raskt endres, integrasjonsmetoden likeså (Simpsons metode, trapesmetoden, osv).

Nå når matematikkens historie stadig blir mer vektlagt i skolen (L97) kan man kanskje se langt bak i tiden for å få noen gode ideer med tanke på innføring av integralet. Hvordan startet det hele? Det er nesten ikke grenser for hvor langt tilbake man kan spore selv integrasjonsideen. Ideen er jo enkel; ''mange bekker små blir en stor å''. Allerede Arkimedes Note_2 hadde en slags integralteknikk. Et kjent eksempel er måten han fant arealet av en sirkel på. La oss se på hvordan han kunne finne et slikt areal ved å anvende en tenkemåte lik den vi prøver å overføre til elevene [TL2]. Arkimedes ville regne ut arealet av en sirkelen og ideen hans var å tilnærme dette arealet med arealer han behersket utregningen av. Han laget en omskreven og en innskreven mangekant i sirkelen, og denne delte da opp sirkelen i innskrevne og omskrevne trekanter (For øvrig kan alle mangekanter deles opp i trekanter - et viktig poeng i ungdomsskolen!). Jf., Darboux's ideer. Se figuren under.

Ved hjelp av at får vi da at arealene av disse mangekantene er

og

Arealet til sirkelen må ligge mellom disse to verdiene, altså

Hadde vi visst at sirkelens areal var gitt ved kunne vi videre funnet en tilnærming for ved

Da kan vi bestemme så nøyaktig vi vil (og har tid til) ved å øke Som vi ser bygger vårt integralbegrep egentlig på nø yaktig samme ide som Arkimedes' arealberegning.

I [TL1, s.339] er det forresten en fin konklusjon med et forslag til hvordan studenter skal forstå integralbegrepet:

''Hva blir så konklusjonen på dette avsnittet? At man bør tenke på integralet på to forskjellige måter: Når det gjelder den teoretiske definisjonen og de praktiske anvendelsene bør man tenke på integralet som en grense av trappesummer, men når det gjelder utregningen av integraler, er det mye mer effektiv å tenke på antiderivasjon. Analysens fundamentalteorem sier at disse to tenkemåtene stemmer overens.''

Konvergensbegrepet

Begrepene uendelig og konvergens viser seg erfaringsmessig å være tunge å fordøye for skoleelever. Fourierrekker viste seg å være en morsom måte for elever (på 2MX-nivå) å få rekkebegrepet innført på. Igjen er det Fouriers aller første og aller enkleste eksempel som er et flott eksempel med gode og pedagogiske poenger. Vi minner om trappefunksjonen fra kapittel 1, der vi på intervallet kan skrive

I en 2MX-klasse brukte vi denne rekka for å eksperimentere litt med kalkulator samtidig som vi skulle få en smaksprøve på konvergensbegrepet. Følger av funksjoner er selvfølgelig ikke pensum, og vi nevnte ikke noe om hvordan man skulle finne koeffisientene (integralbegrepet innføres jo ikke før i 3MX). Elever i videregående skoler i dag har tilgjengelig grafisk kalkulator, og det er lett å justere hvor mange ledd som skal tegnes i summen. Elevene fikk altså trent seg i mange aspekter ved å plotte partialsummer på kalkulatoren.

• De fikk oppgitt de første ledd i rekka og skulle gjette de fø lgende selv - trening i å se mønster og strukturer.

• De forsøkte å plotte partialsummene både ved å skrive inn ledd for ledd, og senere ved å bruke summe-notasjonen på kalkulatoren - ren mekanisk trening i bruk av hjelpemidler.

• Man kunne observere hvordan man kunne legge sammen funksjoner, der man hadde forskjellige frekvenser i cosinus-leddene, for å produsere andre funksjoner - undersøke summer av funksjoner.

• Man så at summene nærmet seg en trappefunksjon, og til og med Gibbs fenomen kunne observeres etterhvert. Noen få elevene ble faktisk veldig interessert i dette og begynte å studere vanskelige summer av (spesielt trigonometriske) funksjoner på egen hånd. Ikke dårlig i 2MX!

Det virket iallfall som om elevene kunne ane viktigheten av uendelig-begrepet, og spørsmålene de stilte skulle tyde på at de hadde fått med seg flere viktige poeng:

• Hvor mange ledd må man ha før det blir helt riktig?

• Når forsvinner de små hattene på kantene?

Her ser vi også en måte å gripe fatt i pedagogiske virkemidler, som dette å ''getting involved'' som [JM] nevner. Utforskning av egenskaper til funksjoner og kurver er et av områdene der IKT-verktøy og kalkulatorer er fint å anvende.

Anbefalt litteratur

Avslutningsvis vil vi nevne et par bøker som kan anbefales for videre lesning.

• Et prosjekt ved Transnational college of LEX har resultert i utgivelsen av boken Who is Fourier? Her har man brukt Fourieranalysen som utgangspunkt for å oppnå grunnlag for å analysere stemmebruk. Under dette prosjektet, som man kalte The Fourier adventure, handler det like mye om læringsprosessen som om Fourier og hans matematikk. Etterhvert som man kom lenger inn i Fourieranalysen åpenbarte det seg nye aspekter som elevene kunne studere. Blant temane finner vi egenskaper ved trigonometriske funksjoner, derivasjon for å finne fart og akselerasjon til objekter, integrasjon for å finne tilbakelagt distanse for et objekt, komplekse tall, eksponensialfunksjonen, vektorer m.m. De vanskeligste temaene i forbindelse med konvergens og intrikate deler av bevisene er naturlig nok utelatt. Elevmassen dette er myntet på tilsvarer ungdomsskole - videregående skole, og et av poengene var også å bruke matematikk som et internasjonalt språk. Kanskje kunne et tilsvarende tema vært velegnet for valgfag i matematikk i den norske videregående skole også?

• TWK T.W. Körners bok, Fourier analysis, er kanskje ikke så elementær som forfatteren vil ha det til, men er veldig omfangsrik. I tillegg til å ta for seg favoritter som punktvis/uniform konvergens, diff.likninger og Fouriertransformasjoner ser han også på anvendelser som random walk, måling av stjerner, den trans-atlantiske kabelen, gruppeteori m.m. Som han sier selv, boken er et ''butikkvindu for noen av ideene, teknikkene og elegante resultatene i Fourieranalyse.''

• I A radical approach to real analysis presenterer D.M. Bressoud en del Fourieranalyse til å illustrere utviklingen av analysen. Forfatteren bruker dataprogrammet Mathematica en hel del for å illustrere resultater i analysen, og det er også mange oppgaver som er tilrettelagt for arbeid på data-salen. Det gjør boken veldig godt egnet både for egenstudium og til bruk ved høyere utdanning, spesielt der man har anledning til å ta i bruk litt alternative undervisningsformer.

• Til sist nevnes J. Peetres artikkel om Fouriers oppdagelser og utviklingen av Fourieranalysen, [JP]. En engelsk versjon av denne kan også lastes ned fra Internett på adressen http://www.maths.lth.se/matematiklu/personal/jaak/fourierseries,b.ps .

Dataverktøy

En del dataverktøy har blitt brukt i denne oppgaven, og noen kan også anbefales brukt i skolen:

• Graf-X-pert - Dette programmet er utviklet av Jostein Våge (NTNU), spesielt beregnet til bruk i undervisningen. Programmet gir læreren et interaktivt verktøy, som kan brukes til å lette innføringen av begreper i matematikkundervisningen. At eleven aktiviseres er en essensiell del av ideen.

  Hovedfunksjonen er å illustrere ideen bak bestemte integraler, men man kan også tilpasse kurver til gitte datasett. Elevene kan eksperimentere med grafer og bruke det til å løse ligninger og ligningssett. Videre kan man illustrere hvordan en sekant nærmer seg tangenten til grafen i et bestemt punkt.

• Cabri - Dette programmet eksisterer i flere ulike versjoner, både for datamaskiner og for kalkulatorer. Noe av vitsen er kanskje borte ved å bruke et program til å tegne geometriske figurer på en kalkulator, men på en datamaskin kan man utvide funksjonaliteten ved å lage makroer, og interaktive demonstrasjoner for å illustrere begreper.

• Scientific Workplace - Dette programmet eksisterer også i flere versjoner, både som en ren matematisk tekstbehandler (da under navnet Scientific Word), og som en fullblods arbeidsstasjon, der man kan gjøre beregninger ved hjelp av en innbygd MAPLE-motor. Til bruk i skolen har utviklerne supplert med et gratis leseprogram, som elever kan laste ned for å kunne lese og skrive ut matematiske dokumenter lagd i Scientific Workplace. Fra versjon 4.0 og utover er også publisering på Internett gjort lettere.

Litteratur

Neste: Divergensteoremet