FEJÉRS TEOREM

Denne seksjonen tar for seg resultater parallelle til de i forrige seksjon, men representerer samtidig en slags utvidelse av det konvergensbegrepet Dirichlet brukte. Vi skal ikke være så omstendelige som i forrige kapittel, og bruker nå den komplekse utgaven av Fourierrekkene. At Fejérs teorem er et viktig resultat ser vi av et utsagn fra [TWK], der forfatteren mener dette er essensen i Fourieranalysen og en forståelse av Fejérs teorem fører til at ''the reader may browse freely through this book...''.

Fejér kjente til problemet om at ikke alle funksjoner kunne utvikles i Fourierrekker som konvergerte punktvis mot denne funksjonen. I stedet for å finne den best egnede funksjonsklassen (som Lebesgue gjorde med sine $L^{2}$-funksjoner) fant han heller en annen type konvergens som kunne benyttes.

Fejér-kjernen

Vi så i forrige kapittel at det tok tid før problemet med punktvis konvergens av Fourierrekker ble løst. Faktisk har Kolmogorov Note_1 vist at Fourierrekka til en integrerbar funksjon kan divergere overalt [B/N/B, s.211ff].

Fejér oppdaget i 1899 (i en alder av 19 år!) at selv om en følge ikke oppførte seg så pent i seg selv, så kunne middelverdien av partialsummene til følgen gjøre det. Altså; selv om ikke følgen av partialsummer
MATH
konvergerer så kan følgen av middelverdier av partialsummene konvergere (på en eller annen måte).

For å se hva det dreier seg om, kan vi se på følgende resultat:

Lemma

Hvis $s_{n}\rightarrow s$ så vil også
MATH

Proof

Siden følgen $s_{n}$ konvergerer mot $s,$ så kan vi til gitt $\varepsilon >0$ finne MATH slik at vi for $n>N$ har MATH For $n>N$ har vi da
MATH

Nå er summen MATH en konstant, la oss si MATH Vi kan da velge en $M>N$ slik at MATH For $n>M$ vil da MATH. Da får vi
MATH
Det vil si, når MATH eksisterer, eksisterer også MATH , og de har samme verdi.

Motsatt har vi ikke det samme resultatet, noe følgende enkle eksempel demonstrerer.

Example

Se på følgen MATH Da vil opplagt ikke $s_{n}$ konvergere, siden den alternerer mellom verdiene $\pm 1$. Vi har
MATH
Siden følgen MATH, vil også MATH Følgen av middelverdier av partialsummene konvergerer altså, selv om følgen opprinnelig ikke gjø r det.

Dette var altså hovedidèen til Fejér, en enkel observasjon, men med utstrakt anvendbarhet. Vi husker fra forrige kapittel at Dirichlet-kjernen var definert ved
MATH
På denne måten kunne Dirichlet skrive partialsummen i Fourierrekka som
MATH
Fejér brukte en tilsvarende omskriving, der han tok middelverdien av de $n+1$ første partialsummene. Middelverdien av partialsummene har også sitt eget navn:

Definition

Vi skriver middelet av de $n+1$ første partialsummene som
MATH

Dette kalles også Cesàro-middelet Note_2 av Fourierrekka, og metoden med å summere i utgangspunktet divergente rekker på denne må ten, kalles Cesàro-summasjon.
MATH
Vi bruker så følgende definisjon:

Definition

\underline{Fejér-kjernen K$_{n}$} av orden n defineres ved
MATH

Det er også en annen måte å skrive Fejér-kjernen Note_3 på. En omforming av Cesaro-summen gir
MATH
Her innfører vi da den andre skrivemåten for Fejér-kjernen:

Definition

\underline{Fejér-kjernen $K_{n}$} av orden $n$ er gitt ved
MATH

Vi kan da skrive () slik:
MATH
Denne er symmetrisk i den forstand at vi kan skrive
MATH
siden både $f$ og $K_{n}$ er $2\pi $-periodiske. Fejérs teorem sier at Cesaro-summen MATH konvergerer (på en eller annen måte) mot $f$, uavhengig av om MATH gjør det.

La oss danne oss et bilde av hvordan $K_{n}$ ser ut.


fejer__58.pngFejér-kjernen $K_{n}(s)$ for $n$-verdier 2,4 og 8.

Noen egenskaper ved $K_{n}$ er oppsummert i følgende lemma.

Lemma (Egenskaper ved Fejér-kjernen)

(i) For $s\neq 2m\pi ,$ MATH er
MATH

(ii) $K_{n}(0)=n+1.$

(iii) $K_{n}(s)\geq 0$ for alle MATH

(iv) MATH uniformt utenfor $[-\delta ,\delta ]$ for hver fastholdt $\delta >0$ når MATH

(v) MATH $ds=1.$

Proof

$(i)$ I forrige kapittel viste vi at Dirichlet-kjernen MATH kan skrives
MATH
Siden Féjer-kjernen $K_{n}$ kan skrives
MATH
så er
MATH
Da får vi
MATH
Siden MATH får vi
MATH
Vi bruker nå summeformelen for en geometrisk rekke:
MATH
når $x\neq 1,$ for å få
MATH

Minner nå om formelen
MATH
som gir
MATH
Vi vet at MATH når $z\in \QTR{Bbb}{C}$ og $x\in \QTR{Bbb}{R}.$ Derfor er
MATH
Altså kan MATH skrives
MATH
som ønsket$.$

$(ii)$ Vi vet at summen av de $n$ første oddetallene er $n^{2}.$ Videre har vi fra lemma 19 at MATH Fra () følger det da at
MATH

$(iii)$ Innlysende, siden Fejér-kjernen er kvadratet av et reellt uttrykk multiplisert med en positiv konstant (se (i)).

$(iv)$ Vi vet at MATH Fiksér en MATH Når MATH så er MATH Vi har da for MATH at
MATH
Til gitt $\varepsilon >0$ kan vi da finne et naturlig tall $N$ slik at $n\geq N$ medfører
MATH
for alle $s$ med MATH Med andre ord, MATH uniformt utenfor MATH

$(v)$ En enkel antiderivasjon gir at MATH Da følger det fra definisjonen av Fejér-kjernen at
MATH

Og alt er bevist.

Fejérs teorem

Ved hjelp av Lemma 31 kan vi nå bevise Fejérs teorem.

Theorem (Fejérs teorem)

[TWK, s.6] $(i)$ Hvis MATH er Riemann-integrerbar og kontinuerlig i punktet $t=t_{0}$ så vil
MATH
$(ii)$ Hvis MATH er kontinuerlig så vil
MATH
\underline{uniformt}.

Proof

$(i)$ Siden MATH $ds=1$ så er
MATH
Vi har da
MATH
Sett
MATH
og
MATH
La nå $\varepsilon >0$ være gitt.

Vi ser først på $I_{1}.$ Siden $f$ er kontinuerlig i $t_{0}$ kan vi finne MATH s.a. MATH medfører MATH Fiksér en slik $\delta .$ Da får vi
MATH

Vi vet, siden MATH at
MATH
Det vil si, MATH

Vi ser så på $I_{2}.$ Vi antok at $f$ er Riemann-integrerbar og den må derfor være begrenset. Da kan vi sette MATH, og da er spesielt MATH og MATH Det følger at MATH

Altså har vi for det andre integralet at
MATH

På grunn av egenskap $(iv)$ i lemma 31 kan vi finne et naturlig tall MATH s.a. MATH for alle MATH når $n\geq N.$ Da får vi
MATH
Dette gir
MATH

$(ii)$ Som over har vi
MATH
La $\varepsilon >0$ være gitt. Siden vi nå har antatt $f$ kontinuerlig over hele MATH kan vi finne MATH slik at MATH for alle $s,t$ s.a. MATH Fiksér en slik $\delta .$ Siden $f$ er kontinuerlig på MATH har vi MATH for alle $s,$ slik at MATH Da er
MATH

som påstått.

Litteratur

\lbrack TWK] Körner, T.W.: Fourier Analysis
Cambridge university press (1988); ISBN: 0-521-25120-6
\lbrack B/N/B] Bachman, G./Narici, L./Beckenstein, E.: Fourier and Wavelet analysis
Springer Verlag New York 2000. ISBN: 0-387-98899-8

Neste: Fourierintegraler

Forrige: Fourierrekker

This document created by Scientific WorkPlace 4.0.