FOURIERREKKER

''Differensiallikningene for varmeteori uttrykker de mest generelle forutsetninger og reduserer de fysiske spørsmål til rene analytiske problemer. Dette er den riktige angrepsmåte for teori.''

(Joseph Fourier [JF, s.6])

Notasjon og motivasjon

Vi så i første kapittel på den første idéen Fourier beskriver i avhandlingene sine, nemlig hvordan en påsatt temperatur stabiliserer seg over en semi-uendelig plate. Resonnementet endte opp med at man ønsket å representere en funksjon med en rekke bestående av cosinusledd med forskjellige amplituder og frekvenser. Vanskeligheten lå altså i når vi hadde lov til å gjøre dette.

Siden de trigonometriske leddene er periodiske vil også denne representasjonen være periodisk, ofte med hensyn på tid (derfor er variablen mye brukt her). Dette innebærer at vi må lage en periodisk utvidelse av funksjonen vi vil finne Fourierrekke til. Men vi er altså bare interesserte i å få utviklingen til å ''likne på på et bestemt intervall, hva som skjer utenfor dette intervallet trenger vi ikke å tenke på. Generelt har vi følgende definisjon for en periodisk funksjon:

Merk at perioden ikke er unik. Hvis er en periode vil også være perioder. Legg også merke til at en vilkårlig -periodisk funksjon kan gjøres -periodisk ved en skalering. Hvis er -periodisk så vil Sett Denne vil da være -periodisk, siden

Dette fører til at vi kan konsentrere teorien omkring intervallet , da et variabelskifte senere vil kunne omforme problemer definert på andre intervaller til det kjente tilfellet. Andre begreper vi støter på i Fourierteorien er følgende:

Vi kan også bruke en kompleks variant, ved å benytte at , og Da får vi

Den komplekse formen har en del regnetekniske fordeler og er også mer elegant. Derfor er den mest brukt i mer avansert litteratur. Da man kanskje ikke er kjent med komplekse tall vil nok den reelle varianten være lettere for de fleste ved første møte med Fourierteori. Vi skal i denne seksjonen stort sett holde oss til denne mest kjente notasjonen.

Fourierrekker

Generelt definerer vi Fourierrekker slik:

Thildetegnet i definisjonen kan for eksempel leses ''...har Fourierrekke...''. Vi har i denne definisjonen brukt den generelle perioden Som bemerket ovenfor er det mest vanlige intervallet Vi skal bruke en vanlig konvensjon, nemlig å kalle definisjonsmengden til -periodiske funksjoner for , eller sirkelen, om man vil. Andre intervaller som ofte er brukt er , og . Vi vil i det etterfølgende bruke Da vil Fourierrekka kunne skrives på den mer kjente formen

Leddet kan muligens se litt merkelig ut, men grunnen til at dette brukes i stedet for er at vi i () kan oppnå en og samme formel for samtlige

Men hvorfor var det ikke noen sinusledd i Fouriers rekkeutvikling i problemet med varmeledning på platen? Ser vi på definisjonen av og ser vi at koeffisientene vil bli 0 for en like funksjon (produktet av en like og en odde funksjon er selv odde).

Det er viktig å skille mellom Fourierrekke og konvergent trigonometrisk rekke.

• En Fourierrekke er en trigonometrisk rekke knyttet til en bestemt funksjon. Denne rekka kan være konvergent (på en eller annen måte - vi husker fra forrige kapittel at vi har flere former for konvergens) eller den kan være divergent.

• På den annen side kan vi ha konvergente trigonometriske rekker som ikke er Fourierrekker. Et standard eksempel her er Denne rekka konvergerer punktvis for men det fins ingen integrerbar funksjon som har denne rekka som Fourierrekke [PRA, s.80]. En kuriositet i denne forbindelse er at faktisk er en Fourierrekke! Dette er beskrevet i [KRS, s.516], og her kommer også resultater fra Abel inn. Imidlertid er enhver uniformt konvergent trigonometrisk rekke også en Fourierrekke (se f.eks. [B/N/B, s.202]).

Det har hele tiden ligget i kortene at man ønsker å erstatte med slik at denne rekken kan benyttes ''i stedet'' for funksjonen, og det var jo også dette konvergensspørsmålet som opptok Fouriers evalueringskomite. Vi skal senere se at klassen av funksjoner som kan utvikles i Fourierrekker som konvergerer mot (på en eller annen måte) er stor, men inkluderer likevel ikke alle funksjoner.

Hvis vi antar rekka i () konvergerer uniformt mot kan vi finne formler for og . Man kommer ikke unna litt regning. Vi skal for enkelthets skyld bruke perioden og minner først om formler for cosinus til sum og differens til vinkler:

og

Vi kan da sette opp

slik at vi får identiteten

På tilsvarende måter får vi identitetene

og

Disse gir oss for at

og

Vi nøyer oss med å vise (). Hvis får vi

Hvis blir integralet

Og til slutt hvis får vi:

Vi antok uniform konvergens av rekka, så la oss nå sette

I forrige kapittel viste vi at en uniformt konvergent følge kan integreres ledd for ledd, det vil si at uniformt på medfører at

I vårt tilfelle består følgen av partialsummer i Fourierrekka, se på

Antakelsen vår er derfor at er en følge som konvergerer uniformt mot summen til rekka, . Vi har altså eksempelvis at

Multipliserer vi () med har vi fortsatt uniform konvergens. Vi kan da integrere ledd for ledd (se også f.eks. [PRA, s.60f]).

Integrerer vi begge sider fra til får vi for at

De to siste likhetene fulgte av () og (). På samme måte får vi

Oppsummert har vi at Fourierkoeffisientene er gitt ved

og

som i definisjonen.

Vi annonserte at kompleks notasjon kan forenkle arbeidet med Fourierrekker. Vi får

slik at vi kan gi følgende definisjon av Fourierkoeffisienten:

Når det ikke er tvil om hvilken funksjon det er snakk om, droppes som regel notasjonen og man skriver

Dirichlets teorem

Vi skal i denne seksjonen gi et bevis for at Fourierrekka til en funksjon konvergerer punktvis mot under visse vilkår Etter de nevnte mislykkede forsøk fra Fourier, Gauss Note_1 og Cauchy var det altså Dirichlet som kom med første gyldige resultat angående punktvis konvergens av Fourierrekker. Han hadde riktignok en mistanke om at hans teorem holdt for en større klasse funksjoner enn han hadde studert, men klarte ikke å vise det. Vi fikk senere, med Jordan Note_2 , en slik utvidelse av funksjonsklassen som tillater Fourierrepresentasjoner. Her ble begrepet begrenset variasjon introdusert. La oss nå i fø rste omgang se på hva Dirichlet gjorde. I neste kapittel skal vi også se på Fejers Note_3 bevis med en annen type konvergens. Dirichlet introduserte notasjonen for å symbolisere høyre/venstre ensidige grenseverdi for når vi nærmer oss Følgende variant har imidlertid blitt mer vanlig, sannsynligvis for å unngå misforstå elser:

Vi skal i det etterfølgende bevise Dirichlets teorem, som lyder:

La være en begrenset, stykkevis kontinuerlig og stykkevis monoton funksjon på . Anta at er -periodisk og at for alle Når er Fourierkoeffisientene til vil rekka

konvergere punktvis mot for alle Vi skriver da

Vi minner om at stykkevis kontinuerlig betyr at er kontinuerlig, bortsett fra i et endelig antall punkter. I tillegg må og være endelig for alle Stykkevis monoton betyr at vi kan dele definisjonsmengden opp i intervaller der er monoton på hvert delintervall. Som vi ser er antakelsene om mange, og vi skal prøve å motivere disse underveis. Det kan kanskje se ut som om kravet for alle er en veldig sterk antakelse, men for eksempel vil en kontinuerlig funksjon oppfylle dette kravet. Strengt tatt trenger vi ikke å anta dette, bare være oppmerksomme på at grensen blir der ikke er kontinuerlig (så lenge de andre forutsetningene i teoremet er oppfyllt).

Dirichlet stilte på en måte problemstillingen på hodet. Fourier, Cauchy og Gauss hadde startet med en funksjon og prøvde å vise at man da klarte å finne slik at Fourierrekka konvergerte. Dirichlet på den annen side sier i teoremet at Fourierrekka allerede er der, altså at vi har Fourierrekka til , men må tilhøre en viss funksjonsklasse (tilfredsstille visse krav) for at rekka skal konvergere mot .

Når vi ønsker å vise at en rekke konvergerer er det som nevnt det samme som å vise at følgen av partialsummer i rekka konvergerer. Partialsummen til Fourierrekka til en funksjon er

Vi skriver bare når det er underforstått hvilken funksjon det dreier seg om. Dirichlet ønsket altså å vise at man til gitt og kan finne slik at medfører Vi ledes til å studere partialsummen til rekka, og det fins en hensiktsmessig måte å skrive om denne på, nemlig via den såkalte Dirichlet-kjernen.

Dirichlet-kjernen

Partialsummene i Fourierrekka kan skrives som

Her er det snakk om endelig summasjon, så bytte av integrasjon og summasjon er tillatt. Se så på summer av en slik type som i parantesen over,

Med Eulers formel får vi

slik at

for Dermed kan vi gi følgende definisjon:

Altså har vi at partialsummen kan skrives som

Av dette ser vi at konvergens av Fourierrekker også dreier seg om egenskaper ved Noen typiske Dirichletkjerner ser slik ut (ø kende gir høyere og spissere kurve):

Dirichlet-kjernen for -verdiene 1,3 og 5.

Noen egenskaper ved denne kjernen er oppsumert i følgende lemma:

Lemma (Egenskaper ved )

(i) For alle er

(ii) For , er

(iii) For alle er

(iv) For alle er .

Dirichlets angrepsmåte

Dirichlet brukte den vanlige reelle notasjonen når han regnet med Fourierrekker, så vi skal holde oss til den videre i dette avsnittet. Han måtte takle flere problemer som Fourier hadde støtt på, men kanskje ikke registrert vinteren 1807.

Vi skal se på beviset omtrent slik Dirichlet gjorde det ([DMB, s.219ff] og [B/N/B, s.188ff]). Dette beviset er velkjent i Fourierteorien og finnes i de fleste bøker om dette emnet.

For det første fikk man bruk for den originale definisjonen av integralet. Som nevnt i forrige kapittel, måtte man gi en definisjon av

i de tilfeller der hvor man ikke kunne finne en antiderivert. Derfor må tte man ha den første antagelsen:

Funksjonen må være integrerbar.

Her menes det da integrerbar med hensyn på Cauchy-integralet (eller ekvivalent, Riemann-integralet).

Fra () har vi at 'te partialsum kan skrives

Dette integralet deler vi i to. I første del erstatter vi med . Da blir Integrasjonsgrensene der skal gå fra til blir da til at går fra til (Vi bytter om på grensene i integrasjonen og skifter fortegn). På grunn av symmetri ser vi også at På tilsvarende måte settes i andre del Omskrivingen

kan vi foreta siden integranden er -periodisk. Partialsummen kan da skrives

Fra definisjonen av er det opplagt at har periode og for at hele integranden skal være -periodisk må vi sørge for at også er det. Vi kan nemlig definere slik vi vil utenfor intervallet og derfor sette Herfra kommer altså neste antagelse:

Vi må ha at må være -periodisk.

Vi setter i det følgende

og

Vi så allerede i kapittel 1 på en funksjon som ikke var kontinuerlig og det lå altså i problemets natur at man ønsket å finne Fourierrekker for funksjoner som ikke er kontinuerlige. Hva skjer med Fourierrekkene i diskontinuitetspunkter? Dirichlet løste også dette problemet med sin tredje antakelse:

(iii) Dersom ikke er kontinuerlig så må funksjonsverdien i diskontinuitetspunktene være middelverdien av grensen fra venstre og grensen fra høyre.

Vi skal senere komme fram til at

La oss tenke oss hvordan Dirichlet muligens gikk fram for å komme fram til denne betingelsen. Dette skal gjøres presist i beviset for Dirichlets teorem. Det første vi kan merke oss er at har sitt første nullpunktet til høyre når det vil si, for Se nå på Vi kan dele opp denne ved nullpunktet for :

Vi skal vise i Lemma , det såkalte Riemann-Lebesgues Lemma, at det siste integralet går mot null når . Siden får vi at vil ligge rundt når og intervallet blir mindre og mindre. Men dette burde jo nå tyde på at

Vi skal snart (via Lemma 19 ) se at arealet under den første slø yfa i er omtrent slik at

Tilsvarende bemerkning gjelder også for og vi ser da Dirichlets grunn til å prøve å bevise at

Ideen i beviset er at vi må vise at og for alle Vi viser da først at vi kan få

så nært som vi ønsker ved å velge tilstrekkelig nær og stor nok, jf. bemerkningene foran. Dernest viser vi at vi kan få resten av integralet i uttrykket for ,

så lite vi vil ved å velge stor nok. Til det første integralet må vi da ha et intervall der er kontinuerlig. Men selv om (et endelig antall) diskontinuitetspunkter er tillatt må de separeres av intervaller der er kontinuerlig. Og her kommer Dirichlets neste antakelse:

(iv) Funksjonen må være stykkevis kontinuerlig. Stykevis kontinuerlig medfører integrerbarhet. % %comment

Dirichlets siste antagelsen er:

(v) Vi må ha at må være begrenset og stykkevis monoton.

Denne er nok noe mer uklar, og sannsynligvis var det arbeidet med beviset som gjorde at han ble tvunget til å inkludere denne antakelsen. Dirichlet mente at den siste antakelsen ikke var nødvendig, men klarte ikke å beviset teoremet uten å bruke dette. Det var riktig at siste antakelse kan svekkes en del, men først Jordan klarte å utvide teoremet til å gjelde for funksjoner av begrenset variasjon. Som vi ser stilte Dirichlet ganske mange krav til en funksjon for at Fouriers rekkeutviklinger skulle være gyldige!

Vi får også bruk for en versjon av Riemann-Lebesgues lemma, også kalt Mercers Note_4 teorem, i beviset for Dirichlets teorem. Dette lemmaet er en klassiker i Fourierteorien. Riemann lanserte dette teoremet som en anvendelse av sitt nyinnførte integralbegrep i verket Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe fra 1854. Lebesgue videreførte Riemanns resultat i dette lemmaet i 1903. Fra tidligere å ha sett på Riemann-integrerbare funksjoner ble lemmaet utvidet til også å holde for Lebesgue-integrerbare funksjoner (til og med når ikke er begrenset).

En ide fra Abel

Bonnet Note_5 viste i 1849 en alternativ form av mellomverdisetningen. Vi får god bruk for denne varianten og Jordan brukte også denne setningen da han videreførte Dirichlets bevis. Ideen stammer fra såkalt Abelsummasjon, en listig summasjonsmetode gjengitt i følgende teorem:

Vi skal ikke bruke Abels lemma i det følgende, men poengterer at det er ideen med summasjonen som er det essensielle.

Bonnets middelverdisetning

Etter mønster av Abels lemma, beviste Bonnet følgende setning:

Resultatet vi trenger i Dirichlets teorem er imidlertid følgende korollar:

Dirichlet samler trådene

Til slutt skal vi sammenfatte de ovenstående resultatene og bevise Dirichlets teorem.

Proof

Grensene og vil eksistere siden er stykkevis kontinuerlig og begrenset. Som vi har sett, må vi vise at

og

kan gjøres så små vi måtte ønske for tilstrekkelig store Vi ser på beviset for den ene påstanden da den andre vil være helt tilsvarende.

La være gitt. Vi ønsker å vise at det fins et slik at medfører

Punkt (iv) i lemma gir at

altså at

Setter vi inn i () ser vi at vi ønsker å vise at

Vi splitter integralet ved punktet slik:

der Sett nå

og

slik at

(i) Vi ser først på Vi ønsker å bruke Riemann-Lebesgues lemma for å vise at dette integralet kan gjøres vilkårlig lite. Vi kan ikke bruke lemmaet direkte (som for øvrig blir gjort i [DMB, s.233]), med som Grunnen til det er at vi ikke har noen garanti for at er monoton, som forlangt i lemmaet. Vi vet at er monotont voksende på , men hvis også er monotont voksende kan vi ikke si noe om monotoni-egenskapene til I [DMB, s.228f] står det at

''We shall content ourselves with the theorem as Dirichlet proved it''.

Her er det sannsynligvis et argument som ikke er helt konsistent. Forfatteren nevner at man egentlig forlanger at er monoton. Om dette er Dirichlets løsning skal være usagt. Man kom seg senere unna dette problemet da Jordan innførte begrepet begrenset variasjon. En annen utvei kunne være å bruke den mer generelle utgaven av Riemann-Lebesgues Lemma (se kapittel 6) der man ikke stiller krav til monotonitet. Med monton gir Riemann-Lebesgues lemma at når er bestemt, kan vi få så lite som ønskelig ved å velge stor nok. Vi velger derfor først liten nok til at i er liten når Dette kan vi gjøre når vi vet er grensen fra høyre for

(ii) Se så på Vi ønsker å gjøre

lite, men hvordan vet vi at valget av ikke avhenger av ? Hvis det gjør det, faller argumentet sammen. I det andre integralet vil valget av være avhengig av og i det første vil avhenge av Og da er vi i samme situasjon som Cauchy befant seg i da han trodde han beviste at alle kombinasjoner av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig. comment Vi kan i stedet bruke korollaret til Bonnets mellomverdisetning. Vi må ha at må være tilstrekkelig nær slik at er kontinuerlig og monoton på Sett

Siden er monoton på og går mot når går mot fra høyre, så er den enten for alle eller den er for alle Uansett vil være positiv og monoton over Derfor er

Nå kan vi bruke korollaret til Bonnets mellomverdisetning med og . Det fins et tall mellom og s.a.

Så skal vi se at for så er

Nullpunktene for finner vi for og det første til høyre når Derivasjon gir

La være telleren i (). Derivasjon av denne gir

Siden og kan vi konkludere med at i intervallet Men det betyr igjen at

i dette intervallet. Dermed er strengt avtakende her. Integranden ser slik ut:

Arealene minker når vi beveger oss mot høyre

Hvis og er en alternerende følge som avtar i absoluttverdi så vil Det vil si at

for Siden vi har sett at integranden er avtakende mellom og ser vi at første sløyfe ligger inne i rektangelet med bredde og høyde (se lemma ) slik at

Nå velger vi tilstrekkelig nær til at Da følger det at

Når er valgt kan vi velge en som er slik at medfører

Vi kan da konkludere med at

som ønsket i () og alt er bevist.

Som nevnt mente han at de holdt for en videre klasse funksjoner, eller sagt på en annen måte, antakelsene i teoremet er unødvendig strenge. Jordan utvidet senere resultatet om punktvis konvergens av Fourierrekker, og slo fast at Fourierrekken til en funksjon av begrenset variasjon konvergerte punktvis mot for alle

Litteratur

This document created by Scientific WorkPlace 4.0.