FOURIERINTEGRALER

Etter at Fouriers banebrytende ideer hadde sett dagens lys, er det ikke vanskelig å forstå at det kun dreide seg om tid før disse ble videre utforsket. Man kan vel også tenke seg flere retninger utforskningen av Fourieranalysen kunne følge:

• Finnes det andre måter å konstruere Fourierrekker på, enn ved å bruke de trigonometriske funksjonene? Hva er så spesielt med sinus og cosinus at de gjør jobben med å rekonstruere andre funksjoner så bra? Til og med diskontinuerlige funksjoner kan jo, som vi så allerede i Fouriers første eksempel, tilnærmes ganske bra, og vi har via Gibbs fenomen i tillegg B kontroll på feilen som blir gjort.

• Hva med flere dimensjoner? Kunne man tenke seg flerdimensjonale Fourierrekker? Dette kunne jo i såfall være hensiktsmessig dersom man skulle finne en Fourier-representasjon for flerdimensjonale funksjoner. Eksempel på dette er fotografier, som kan beskrives via en matrise der funksjonsverdien i hver celle svarer til fargen i denne cellen.

• Hva skjedde dersom lederen i varmelikningen var uendelig lang? Der man før hadde snakket om periodiske funksjoner, kunne man benytte en periode som var uendelig?

Det første punktet utviklet seg til en helt ny matematisk gren kalt Wavelets. Det ble sagt (av van Vleck) om denne teknikken at den ''(...) førte til en helt ny tenkemåte''. Det andre punktet kan vi også se behandlet flere steder. I [D/McK] finner vi for eksempel en del om flerdimensjonale Fourierrekker på en standard torus.

Siste punkt tok imidlertid Fourier selv for seg. Vi skal derfor se litt på dette i denne seksjonen. Vi er nå i den siste delen av Fouriers bok fra 1822 ([JF]), og dette er altså noe av det han hadde lagt til etter at hans originale utgave kom ut i 1807.

Da vi startet i kapittel 1 så vi at Fourier omarbeidet problemet fra å dreie seg om varmeledning til å omhandle hvilke funksjoner som kunne representeres ved konvergente trigonometriske rekker. Spesielt måtte vi finne en Fourierrekke som på en eller annen måte kunne representere på Intuitivt sett skulle man kanskje tro at man kunne erstatte dette intervallet med hele tallinjen. Et åpenbart problem blir da periodisiteten til de trigonometriske funksjonene, så helt enkelt er det likevel ikke. Tar man i betraktning alt som kan skje når man lar noe gå mot uendelig, ser vi at vi bør være forsiktige. Som regel lever vi i den misforståelse at våre erfaringer fra den endelige verden kan overføres til den uendelige. Vi minner her om Cauchys ''bevis'' for at en uendelig sum av kontinuerlige funksjoner også er kontinuerlig. Vi finner også følgende motto i [TWK, s.221]:

''Try to argue about Fourier transforms in the same way as about Fourier series but do not expect your arguments to hold every time''.

Fouriertransformasjoner er mye brukt i anvendelser. Det er imidlertid ikke alle bøker som tar for seg bevis for at transformen gjør det den skal. Dette skyldes kanskje at forfatterne gjerne legger vekt på de mange anvendelsene for denne teorien. Vi så i kapittel 4 at en ''tilstrekkelig pen'' (i betydningen at den oppfyller Dirichlet-kriteriene) -periodisk funksjon generelt kan uttrykkes ved sin Fourierrekke slik:

Vi vet nå at denne Fourierrekka konvergerer punktvis mot , bortsett fra i diskontinuitetspunkter, der rekka konvergerer mot middelverdien av høyre og venstre grenseverdi ved diskontinuiteten. Hvis vi nå bruker at

kan vi skrive

Ideen er at man ved å la burde kunne få noe som tilsvarer Fourierrekker på et uendelig intervall. Vi ønsker altså å finne ut hva som skjer med (f.eks.) temperaturfordeling i en lang leder. Dette er med andre ord en naturlig videreføring av Fourierrekker. Fourier selv skrev i boken sin [JF, s. 433] ( er her integrasjonsområ det):

''Hvis vi antar er uendelig, vil leddene i rekka bli differensialer, og summen betegnet ved vil bli et bestemt integral (...). Grensene er helt vilkårlige konstanter''.

Vi kan selvfølgelig ikke bare sette da dette ikke vil gi noen mening. Vi må undersøke grenseprosessen. Leddet vil gå mot null når vokser, vel å merke hvis integralet eksisterer og er endelig. Her kommer begrepet integrerbarhet igjen inn i bildet. Integrerbarhet blir da det første kravet på

Vi kan erstatte 0 med et hvilket som helst tall i denne definisjonen. For å illustrere kan vi se på et par enkle eksempler:

Ideen er nå videre at andre ledd på av høyresiden av () minner om en Riemann-sum med maskevidde . For å se dette setter vi slik at Da får vi

Hvis vi nå setter

kan andre leddet på høyresiden i () skrives

Når vil Dette minner jo da om en Riemann-sum for og forhåpentligvis vil () konvergere mot

Vi ser at dette integralet ikke trenger å gi mening, men ideen er klar, vi kan kanskje finne en integralrepresentasjon for dersom funksjonen er ''pen'' nok.

Vi ser tydelig analogien til vanlige Fourierrekker; en kontinuerlig variabel i stedet for indeksen vi hadde tidligere, i stedet for og i stedet for Forhåpentligvis kan vi vise at Fourierintegralet for konvergerer mot for alle eller for visse hvis vi legger restriksjoner på

På samme måte som vi har en kompleks versjon av Fourierrekkene har vi det også for integralformelen, bedre kjent som Fouriertransformasjon. Dette er et veldig nyttig verktøy i anvendt matematikk, og er så godt som uunværlig i fysikk og informatikk. Vi skal holde oss til Fouriers trigonometri-versjon, og nevner bare litt om den eksponensielle formen her.

Denne kan oppnås på samme måte, vi skriver opp den generelle Fourierrekka, og lar perioden gå mot uendelig. Vi minner her om at vi generelt har den komplekse Fourierkoeffisienten gitt ved

Hvis funksjonen er tilstrekkelig pen vil Fourierrekka til

konvergere punktvis mot der denne er kontinuerlig. Vi har videre

Igjen setter vi slik at Vi får da at denne summen kan skrives

Setter vi

ender vi opp med

Igjen likner dette på en Riemann-sum. Lar vi kan det se ut som om vi har:

Det kan, dersom dette siste integralet eksisterer, vises at den inverse Fouriertransformen rekonstruerer slik at

for alle under bestemte betingelse på Faktoren står noen steder i transformasjonsformelen og andre ganger i den inverse transformasjonsformelen. I noen bøker finner vi også at det står i begge formlene, sannsynligvis for å framstille formelsettet mer symmetrisk. Andre notasjoner for Fouriertransformen er eller Vi merker oss også likheten mellom Fouriertransformen og komplekse Fourierkoeffisienter. Vi kunne skrevet

og

Her transformerer vi først og får Så bruker vi den inverse transformeren for å få tilbake På samme måte finner vi Fourierkoeffisienter for så å summere Fourierrekken for å rekonstruere

Det er for øvrig på grunn av nytteverdien i sammenhenger med elektronikk og e-lære at mange foretrekker å benytte som variabel (symboliserer frekvens) i stedet for den tidligere mer vanlige (symboliserer tid). Det er også en hel mengde andre anvendelser av Fouriertransformen. Det fins for eksempel en sammennheng mellom posisjonen og impulsen til en partikkel via denne transformen. Man har kanskje hørt om Heisenbergs usikkerhetsprinsipp, som slår fast at vi bare kan kjenne til en av størrelsene fart og posisjon nøyaktig på samme tid (se f.eks. [D/McK]). I tillegg brukes jo både Fourierrekker og Fouriertransformen for å løse diff.likninger.

Følger vi for eksempel framstillingen i [B/C] ser vi at veien til et bevis for at en integralrepresentasjon er gyldig er veldig lik den for Fourierrekker, dog litt mer avansert. Det er altså en analogi, selv om denne ikke kan følges helt.

Vi skal igjen innom Riemann-Lebesgues lemma. Vi tar nå skrittet fra å la grensen gå over , til å gå kontinuerlig over . Her skal vi bruke uniformt kontinuitet, noe Dirichlet ikke kjente til da han publiserte sitt bevis for punktvis konvergens av Fourierrekker.

Så trenger vi Dirichlets integral, som spiller tilsvarende rolle som Dirichlet-kjernen i forrige kapittel. Verdien var kjent også for Fourier, og han skrev selv:

''Undersøk først det bestemte integralet som vi vet er lik [JF, s. 426].''

og tidligere (om det samme integralet)

''Denne verdien har vært kjent en tid [JF, s. 346].''

La oss først beregne dette integralet. Vi får da bruk for følgende begrep:

Fouriers integralteorem

Litteratur

\lbrack TWK]	Körner: Fourier analysis
	Cambridge university press (1988); 0-521-25120-6
\lbrack D/McK]	Dym, McKean: Fourier series and integrals
	Academic press ltd (1972); ISBN: 0-12-226451-7
\lbrack B/C]	Brown, Churchill: Fourier series and boundary value problems, 6 ed.
	McGraw-Hill Higher education (2001); ISBN: 0071181512
\lbrack JM]	Mason: Thinking mathematically
	Addison Wesley Publishing Company (1982); ISBN: 0201102382
\lbrack PRA]	Andenæs: MNFMA219 Reell analyse
	NTNU
\lbrack TL1]	Lindstrøm: Kalkulus
	Universitetsforlaget AS (1995); ISBN: 82-00-22472-4
\lbrack JF]	Fourier: The analytical theory of heat
	Dover publications (1955)
\lbrack TG]	Gulliksen: Matematikk i praksis
	Universitetsforlaget AS (1996); ISBN: 82-00-22548-8

Neste: Parallell til skolen

Forrige: Fejerkjernen