VARMELIKNINGEN

''Varme gjennomtrenger, på samme måte som tyngdekraft, alle stoff i universet. Varmestrålene fins i alle deler av rommet. Vi skal i dette arbeidet stille opp de matematiske lovene varme følger. Varmeteorien vil heretter danne en av de viktigste grenene i generell fysikk.'' (Joseph Fourier - The analytical theory of heat [JF, s. 1])

Vi skal i dette kapittelet se på bruk av Fourierreker i partielle differensiallikninger. Eksempler er varmeledning og bølgeforplantning. Fourier selv var altså opptatt av varmeledning, og var mer interessert i å forstå fysikken for å stille opp problemet enn matematikken for å løse det. Det passer derfor bra å gi en utledning av varmelikningen her. En slik utledning er standard og vi finner den i de fleste bøker der andre ordens diff.likninger er behandlet. Eksempel på slik litteratur er den mye brukte [B/DiP].

Utledning av varmelikningen

Ved å finne to ekvivalente uttrykk for varmestrømmen i en tynn leder kan vi sette disse like hverandre og dermed oppnå en likning som beskriver temperaturen i lederen.

Et kjent fysisk prinsipp er at varmemengden som strømmer gjennom en del av en leder på et bestemt sted pr. tidsenhet er proporsjonal med gradienten til temperaturen. Dette prinsippet bygger igjen på Newtons avkjølingslov:

''Hvis to parallelle plater med samme areal $A$ og forskjellige temperaturer $T_{1}$ og $T_{2}$ er separerte i en avstand $d,$ vil det strømme en varmemengde fra den varmeste plata til den kaldeste (vi må alltid ha et varmt sted og et kaldt sted skal varme ledes). Varmemengden som ledes pr. tidsenhet er proporsjonal med denne flaten $A$ og temperaturforskjellen mellom platene, MATH Videre er varmestrømmen omvendt proporsjonal med avstanden $d$ mellom platene.''

Vi har altså
MATH
der $\kappa $ (kappa) er en proporsjonalitetskonstant kalt termisk konduktivitet (eng.: conduct = lede). Det er også naturlig at denne avhenger av hvilket materiale som befinner seg mellom platene. Den gir derfor et mål på hvor bra eller dårlig et stoff leder varme. Dette er en empirisk lov, og Fourier fant også fram til dette resultatet ([JF, s.42]).

La oss nå legge en tynn, sylindrisk varmeleder fra $0$ til $L$ langs $x$-aksen. Vi antar lederen er laget av et homogent materiale og har likt tverrsnitt over det hele. Denne lederen må være isolert slik at det ikke strømmer varme gjennom sidene, men kun langs lederen og ut og inn gjennom endene. Vi antar også at temperaturfunksjonen $u$ og de deriverte $u_{t},$ $u_{x}$ og $u_{xx}$ er kontinuerlige og kun avhenger av posisjonen $x$ i lederen og tiden $t$ (altså har ikke $y$ og $z$ noen betydning - temperaturen er konstant over et tverrsnitt av lederen). Dette er en bra tilnærmelse når lederen er veldig tynn.

Vi ser på delen av lederen mellom $x=x_{0}$ og $x=x_{0}+\Delta x,$ se på figuren.

varme__23.pngEt segment av lederen

Varmemengden som nå strømmer inn i segmentet (skravert område på figuren) pr. tidsenhet minus varmemengden som strømmer ut av segmentet pr. tidsenhet må være lik den netto varmeøkning pr. tidsenhet i dette segmentet. Newtons avkjø lingslov gir at varmemengden som nå strømmer gjennom lederen fra $x_{0}$ til $x_{0}+\Delta x$ pr. tidsenhet er
MATH
Varmestrømmen gjennom tverrsnittet ved $x_{0}$ kaller vi $H(x_{0},t)$. Denne er definert ved
MATH
Minustegnet skyldes at det vil være en positiv varmeflyt fra venstre mot høyre hvis temperaturen er mindre i $x_{0}+\Delta x$ enn i $x_{0}$. En annen måte å si dette på er at varme strømmer fra et varmt sted til et kaldt sted, og varmeflyten er da positiv selv om den deriverte av temperaturen, $u_{x}$, er negativ. Ved posisjonen $x_{0}+\Delta x,$ vil varmestrømmen (altså varmemengde pr. tid) på samme måte være
MATH
Totalt er endringen pr. tidsenhet i varmemengden i delen av lederen mellom $x=x_{0}$ og $x=x_{0}+\Delta x$
MATH
Siden $u_{xx}$ er kontinuerlig kan vi bruke fundamentalteoremet (se f.eks. [TL1, s. 335]) som gir
MATH

Nå skal vi utlede et annet uttrykk for total varmeendring pr. tidsenhet. Temperaturen i segmentet avhenger også av tettheten $\rho $ (g/cm$^{3})$ til materialet og den spesifikke varmekapasiteten $c.$ Spesifikk varmekapasitet er den varmemengde som trengs for å øke temperaturen i ett gram av et bestemt materiale en grad. Det vil si at $c\rho u$ er den mengden som trengs for å øke temperaturen i $1$ cm$^{3}$ av materialet fra $0$ grader til $u$ grader. I segmentet på figuren trengs da en varme på
MATH
for å øke temperaturen fra $0$ til $u.$ Derivasjon under integraltegnet er tillatt, siden både $u$ og $u_{t}$ er antatt kontinuerlige (se f.eks. [PRA, s. 37]). Varmeendring pr. tidsenhet i segmentet er derfor
MATH
Vi har nå to uttrykk for varmeendringen pr. tidsenhet i segmentet, i () og (). Disse må være like, og vi får da
MATH
eller
MATH
Dette må holde for alle valg av $x_{0}$ og $x_{0}+\Delta x$ Siden $u_{t}$ og $u_{xx}$ er kontinuerlige vil integranden være kontinuerlig. Dermed må integranden være eksakt lik null,
MATH
eller
MATH
Sett MATH (for å gjøre senere utregninger enklere). Vi ender da opp med
MATH
Dette er altså den endimensjonale varmelikningen. Verdier for konstanten $\alpha ^{2}$ kan finnes i tabeller.

Løsning av varmelikningen

La oss nå gi en fullstendig løsning av varmelikningen i følgende situasjon:

Temperaturen i $x=0$ og $x=L$ er lik null, og utgangspunktet for temperaturfordelingen er en kjent funksjon $f(x).$ Problemet er altså
MATH
Vi går fram på tilsvarende måte som Fourier gjorde da han løste varmelikningen for en semi-uendelig plate. Metoden er standard i dag, og det påstås altså i noe litteratur at Fourier var den første som brukte separasjon av variable til å løse slike likninger.

Vi antar løsningen har formen $u(x,t)=X(x)T(t).$ Vi skal senere se at denne antagelsen kan rettferdiggjøres. Innsatt i () får vi at
MATH
Separasjon av variablene gir
MATH
Siden venstresiden kun er avhengig av $t$ og høyresiden kun av $x$ må begge være lik en konstant som vi kaller $-\sigma .$ Minustegnet skyldes at uttrykkene vi senere kommer fram til blir enklere. Vi ender da opp med de to likningene
MATH
Nå setter vi inn randbetingelsene MATH, slik at vi må ha
MATH
For at dette skal stemme kan vi ha $T(t)=0$ for alle $t,$ men da vil jo også $u(x,t)=0$ for alle $x$ og $t.$ Det betyr igjen at betingelsen $u(x,0)=f(x)$ ikke kan oppfylles for andre $f$ enn $f(x)\equiv 0.$ Derfor ser vi oss nødt til å ha $X(0)=0.$ På samme måte må vi ha $X(L)=0. $

Vi ser så på tre muligheter for valg av $\sigma .$

Først lar vi $\sigma =0.$ Da får vi fra () at $X(x)=k_{1}x+k_{2}.$ Vi må velge $k_{2}=0$ og $k_{1}=0$ for å tilfredsstille randbetingelsene MATH, og vi finner ingen ikke-trivielle løsninger for dette valg av $\sigma .$

Ser så på $\sigma <0.$ Settes MATH får vi likningen MATH Løsningen av denne er
MATH
(Man vil enkelte steder finne denne løsningen utskrevet ved hyperbolske funksjoner, dette er en smakssak.) Randbetingelsene gir igjen $X(0)=k_{1}+k_{2}=0$ og MATH Fra $k_{1}=-k_{2}$ får vi MATH Men dette stemmer jo bare når $k_{1}=0,$ og vi må derfor også ha $k_{2}=0.$ Også her vil vi da ende opp med den trivielle løsningen.

Siste mulighet for å finne ikke-trivielle løsninger er $\sigma >0.$ Sett da MATH slik at vi får likningen MATH Løsningen av denne er
MATH
Initialbetingelsene gir nå at MATH og MATH Siden MATH følger det at $X(0)=k_{1}=0,$ og videre at MATH med $k_{2}\neq 0.$ For å få ikke-trivielle løsninger må $\sin \lambda L=0$. Sett MATH der $n=\pm 1,\pm 2,...$ Setter vi $k_{2}=1$ får vi løsningen
MATH
Vi trenger ikke ta med negative $n,$ siden MATH og dette fortegnsskiftet kan fanges opp av en konstant foran sinusleddet. Funksjonen MATH tilfredsstiller randbetingelsene og diff.likningen ().

Vi ser så på (). Generell løsning av denne er
MATH
der $b_{n}$ er en proporsjonalitetskonstant$.$ Vi ser da at funksjonen
MATH
vil tilfredsstille varmelikningen og randbetingelsene.

Fremdeles gjenstår å tilfredsstille initialbetingelsen $u(x,0)=f(x).$ La oss se på en endelig sum av slike løsninger som (),
MATH
Vi vet at også denne summen vil være en løsning av varmelikningen (varmelikningen er lineær) og samtidig oppfylle randbetingelsene MATH Setter vi $t=0$, som i betingelsen, får vi
MATH
Nå er problemet å forsøke å justere konstantene $b_{n}$ slik at denne likheten holder. Men hvis ikke $f(x)$ har formen
MATH
så fins ikke $b_{n}$ som oppfyller likheten [B/DiP, s. 517]. Dette gir en indikasjon på at vi kan prøve å finne en løsning bestående av en uendelig sum, nemlig
MATH
Vi har
MATH
og dette skal være lik $f\left( x\right) .$ Dermed innser vi at $b_{n}$ må være nettopp Fourierkoeffisientene i sinusrekken til $f(x)$. Vi har allerede sett hvordan Fourier regnet ut koeffisientene $a_{n}$ for å representere en funksjon ved en cosinus-rekke på et gitt intervall. Ø nsker vi en sinusrekke får vi en tilsvarende formel, der
MATH
Utregningen er lik den vi så i forrige kapittel. Det kan kanskje virker rart at man noen steder bruker bare cosinus-ledd for å representere funksjoner, og andre steder bare sinus-ledd. I tillegg brukes generelt begge deler samtidig! Poenget her er at en gitt funksjon kan forlenges på bå de en like og en odde måte, slik at man kan velge om man vil bruke en cosinus-, sinus- eller kombinert representasjon.

Den totale løsningen på varmelikningen er da:
MATH
der $b_{n}$ er gitt ved ().

For å kommentere den fysiske meningen med løsningen, kan vi merke oss at ledd av typen
MATH
inngår i løsningen, slik at en høyere konduktivitet i materialet vil gi en større $\alpha ^{2},$ og temperaturen i en slik stang vil dermed gå raskere mot null når vi tiden går.

Entydighet

Er man kritisk vil man kanskje stille seg spørrende til hvorledes man kan unnlate å se på muligheten for at varmelikningen () har løsninger av andre typer enn MATH. Generelt vil jo gjerne en funksjon MATH ikke kunne skrives som et produkt MATH Hvis vi nå hadde hatt en alternativ løsning av varmelikningen, så ville vi jo ikke kunne forutsi temperaturen på et gitt sted til en bestemt tid ved hjelp av løsningen vi har funnet. Derfor ønsker vi at løsningen vi har funnet skal være den eneste rette.

La nå $u(x,t)$ være kontinuerlig på det semi-uendelige rektangelet MATH i $xt$-planet. Anta også at $u$ er en løsning av varmelikningen () for $0<x<L\,$ og $t>0.$ For en gitt $\tau >0$ definerer vi rektangelet MATH og la MATH

varme__161.pngRektangelet $R_{\tau }$ og randen $C.$

Her er $C_{\tau }$ altså den kraftige streken. Vi minner om at vi fremdeles ser på den endimensjonale varmelikningen selv om vi illustrerer problemet i et plan. Vi starter med et resultat vi får bruk for.

Lemma

Hvis løsningen $u$ av varmelikningen er kontinuerlig på $R$ og $\equiv 0 $ på $C$ (randen til $R$) så er $u\leq 0$ i hele $R.$

Proof

Vi ønsker en selvmotsigelse og antar det motsatte, nemlig at det fins et punkt MATH i det indre av $R$ slik at MATH Velg så $\tau >t_{0}.$ Da vil MATH ligge inne i rektanglet $R_{\tau }.$ Definer hjelpefunksjonen
MATH
for MATH Vi ser så på $h$ på $R_{\tau }.$ Nå er $h$ kontinuerlig på $R_{\tau }$ og $R_{\tau }$ er kompakt$.$ Da vet vi (se f.eks. [PRA, s. 29]) at $h$ oppnår sitt maksimum og minimum på $R_{\tau }.$ La oss si $h$ oppnår sitt maksimum i et punkt MATH Dette maksimum er opplagt $\geq M.$ Da må MATH enten være et indre punkt i $R_{\tau }$ eller $t_{1}=\tau .$ Punktet MATH kan ikke ligge på randen $C_{\tau }$ for der har vi for alle MATH at
MATH

(i) Hvis MATH er et indre punkt i $R_{\tau }$ vet vi fra flerdimensjonal analyse at
MATH
og
MATH
Dessuten må
MATH

(ii) Hvis i stedet $t_{1}=\tau $ så må vi ha
MATH
siden MATH ville gitt at det fantes MATH med $0<t_{2}<t_{1}$ s.a.
MATH
Vi befinner oss nå på øverste kant av $R_{\tau }$ og fra vanlig envariabelteori må vi da ha
MATH
og
MATH
Sammenlikner vi (i) og (ii) ser vi at vi har
MATH
i begge tilfeller. Siden
MATH
blir
MATH
mens
MATH
Innsatt i varmelikningen () kan vi da se at
MATH
og vi har en selvmotsigelse, siden () da ikke vil væ re oppfyllt. Altså må antakelsen være feil, og vi kan konkludere med at $u$ virkelig oppnår sitt maksimum på $C.$ Det samme resonnementet vil gi at $-u$ oppnår sitt maksimum, som er det samme som å si at $u$ oppnår sitt minimum på $C.$

Vi kan da vise entydigheten til løsningen av varmelikningen.

Proposition

La $u$ og $v$ være kontinuerlige løsninger av (), der $0\leq x\leq L$ og $0\leq t<\infty .$ Da er $u=v.$

Proof

Sett $w=u-v.$ Dette er en lineærkombinasjon av løsninger, og $w$ vil da også være en løsning av varmelikningen. Dessuten vil $w$ tilfredsstille MATH og MATH Siden MATH har vi MATH Altså har vi at $w=0$ på $C$, og lemma 3 gir da for $(x,t)\in R,$ at
MATH
Dette viser oss at MATH og dermed er
MATH
for alle $(x,t)\in R.$

Litteratur

[JF] Fourier, J.: Analytical theory of heat
Dover publications (1955)
[B/DiP] Boyce, W.E./DiPrima, R.C.: Elem. diff. equations and boundary value problems
John Wiley & sons, Inc. (1992); ISBN: 0-471-57019-2
[TL1] Lindstrøm, T.: Kalkulus
Universitetsforlaget AS (1995); ISBN: 82-00-22472-4
[PRA] Andenæs, P.R.: MNFMA219 - Reell analyse
NTNU (2000)
[E/P] Edwards, C.H../Penney, D.E.: Calculus with analytic geometry
Prentice Hall Inc. (1994); ISBN: 0-13-176728-3

 

Neste: Problemene This document created by Scientific WorkPlace 4.0.

Forrige: Bakgrunn